江苏省南通市如东高级中学2024届高三上学期期中学情检测数学试卷(含答案).docxVIP

江苏省南通市如东高级中学2024届高三上学期期中学情检测数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知,则()

A. B. C. D.

2．已知,则()

A. B.2 C. D.

3．已知,是两个不共线的向量,,,,则()

A. B. C. D.

4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为,其中O表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高,则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是()

A.3 B.9 C.27 D.81

5．已知函数在内单调递增,则实数a的取值范围是()

A. B. C. D.

6．已知,,则()

A. B. C. D.

7．某单位建造一间背面靠墙的小房,地面面积为,房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗）,房屋侧面每平方米的造价为800元,屋顶的造价为5800元.如果墙高为,且不计房屋背面和地面的费用,则最低总造价是()

A.57600元 B.63400元 C.69200元 D.元

8．已知椭圆的焦点分别为,,点A在C上,点B在y轴上,且满足,,则C的离心率为()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．已知数列,都是等比数列,则下列数列中一定是等比数列的是()

A. B. C. D.

10．双曲线的左、右焦点分别为,.过作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知,直线的斜率为,则()

A. B.

C.双曲线的方程为 D.

11．已知正三棱柱的各棱长都为1,E为AB的中点,则()

A.直线与直线为异面直线

B.平面

C.二面角的正弦值为

D.若棱柱的各顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

12．设定义在R上的函数的导函数为,若与均为偶函数,则下列说法一定正确的是()

A.的图象关于对称 B.2为的一个周期

C.的图象关于对称 D.为偶函数

三、填空题

13．已知一个圆台的上、下底面半径分别为,,母线长为,则该圆台的体积是____________.

14．已知直线与交于A,B两点,写出满足“三角形ABO面积为2”的m的一个值___________.

15．已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是____________.

四、双空题

16．如图所示,某小区有一半径为,圆心角为的扇形空地.现欲对该地块进行改造,从弧AB上一点P向OB引垂线段PH从点H向OP引垂线段DH.在三角形OPH三边修建步行道,则步行道长度的最大值是_________m.在三角形ODH内修建花圃,则花圃面积的最大值是______________.

五、解答题

17．设正项数列的前n项和为,,.

(1)求;

(2)若,求.

18．在中,,.

(1)求A;

(2)若,M为AB的中点,求的面积.

19．某集团下属公司在2023年的年初有资金5000万元,根据以往经验,若将其全部投入生产,该公司的每年资金年增长率为.现集团要求该公司从2023年开始,每年年底上缴资金1000万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司上缴资金后的剩余资金为万元.

(1)求;

(2)若第m（m为正整数）年年底公司的剩余资金超过30000万元,求m的最小值.

20．如图,三棱锥中,所有棱长均为6,E,G分别是BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有.

(1)证明：直线EF,GH,BD相交于一点;

(2)求直线FG与平面BCD所成角的正弦值.

21．设,.

(1)求的最小值;

(2)若,,求实数a的取值范围.

22．在平面直角坐标系中,直线与抛物线相切.

(1)求p的值;

(2)若点F为C的焦点,点P为C的准线上一点.过点P的两条直线,分别与C相切,直线l与,分别相交于A,B,求证：.

参考答案

1．答案：B

解析：由,得或,则或,

又,所以,

故选：B.

2．答案：A

解析：因为,

所以.

故选：A.

3．答案：C

解析：因为,是两个不共线的向量,设,

则,

即,解得,

所以.

故选：C.

4．答案：D

解析：设鲑鱼原来的游速为耗氧量的单位数为,现在的游速为耗氧量的单位数为,

由题意得：,即,

所以,

故选：D.

5．答案：D

解析：依题意,,恒成立,即,恒成立,则,

函数有意义,则,解得或,

显然函数在上单调递增,因此函数在上单调递增,

从而函数在上单调递增,

所以实数a的取值范围是.

故选：D.

6．答案：C

解析：由题意,解得或（舍去）,

从而,,

所以.

故选：C.

7．答案：B

解析：设房屋的正面边长为,侧面边长为,总造价为z元,则,即,

所以

.

当时,即当时,z有最小值,最低总造价为63400