相似五大模型总结老师.docxVIP

学科教师辅导讲义

学员编号： 年 级：初三 课时数：3

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：吴猛

授课类型授课日期及时段

T(同步知识主题) C（专题方法主题）

2016-07-27

相似三角形模型总结

T（学法与能力主题）

模型一：A型或反A型

1．（2011?河北模拟）将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（ ）

A． B．4 C． 或2 D．4或

考点：相似三角形的性质；解一元一次方程；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题；压轴题．

分析：

根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到 = ，设BF=x，则CF=8﹣x，即可求出x的长，得

到BF的长，即可选出答案．

解答：解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合，

∴BF=B′F，

设BF=x，则CF=8﹣x，

∵当△B′FC∽△ABC，

∴ = ，

∵AB=6，BC=8，

∴= ，解得：x= ，

即：BF= ，

当△FB′C∽△ABC，

，

，解得：x=4，

当△ABC∽△CB′F时，同法可求B′F=4，

故BF=4或 ，故选：D．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，折叠问题，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是设BF=x，能正确列出方程．

1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。

2、求证：

3、

B

D

A E C

F

答案：证明：（方法一）如图延长AE到M使得EM=AE，连接CM

∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴△BEA≌△CEM ∴CM=AB，∠1=∠B ∴AB∥CM

∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF

∴△MCF∽△ADF ∴

∵CM=AB，AD=AC ∴

（方法二）过D作DG∥BC交AE于G

则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF∴ ，

∵AD=AC，BE=CE ∴

模型二：X型和反X型

1．（2012?朝阳）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12，则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为 80π﹣160 ．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；正多边形和圆．专题：压轴题．

分析：首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．

解答：解：连接AC，

∵AE丄EF，EF丄FC，

∴∠E=∠F=90°，

∵∠AME=∠CMF（对顶角相等），

∴△AEM∽△CFM，

∴ ，

∵AE=4，FC=12，

∴ ，

∴EM=2，FM=6，

在Rt△AEM中，AM=

在Rt△FCM中，CM=

=2 ，

=6 ，

∴AC=8 ，

在Rt△ABC中，AB=AC?sin45°=8

∴S正方形ABCD=AB2=160，

圆的面积为：π?（ ）2=80π，

× =4 ，

∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．故答案为：80π﹣160．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．

2、如图，弦 和弦 相交于 内一点 ，求证： .

思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.

证明：连接 ， .

在

∴ ∽ ∴ .

如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC．DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；

③△ABD∽△ACE；④A．O、C．E四点在同一个圆上，一定成立的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

模型三：字母型

1．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=2，CD=3，则AE的长为（ ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

【答案】B.

2．（2015南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则

AE的长为（ ）

A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．专题：压轴题．

分析：连接BD、CD，