2023~2024学年中考数学之圆动点问题(线圆最值）.docxVIP

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2023~2024学年中考数学之隐含圆问题

历届中考中，涉及隐含圆的几何动点问题，是常见高频考题。明明图中没有圆，却使用到了圆的知识点；对于这类题型，我们称之为“隐含圆问题”

【模型建立】：

（1）定弦定角

（2）动点到定点定长（通俗点讲：动点到一顶点的距离不变）

（3）直角所对的弦是直径

（4）四点共圆（对角互补）

（5）点圆最值

（6）线圆最值

记忆口诀：定点定长走圆周，定弦定角跑双弧

直角必有外接圆，对角互补也共圆

【模型一：定弦定角】

O

O

C

E

D

A

B

α

2α

α

α

前言：在圆O中，若弦AB长度固定

则弦AB所对的圆周角都相等（注意：弦AB在劣弧）AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用

O

O

D

A

B

2α

α

后语：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，C在圆O的优弧ACB上均可（至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动）

1．（2023·凤岗模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线BD的中点，点F为BC所在直线上方一点，连接BF、CF、EF，若∠BFC＝30°，则EF长的最大值为．

【答案】2+23

【解析】【解答】解：作△BFC的外接圆，圆心为O，连接OF，OB，OC，过点O作OH⊥BC交于点H，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=AB=4，∠ABC=90°，∠EBC=12∠ABC=45°，

∵∠BFC=30°，BC?=BC?

∴∠BOC=2∠BFC=60°，

∴△BOC是等边三角形，

∴OB=OC=BC=4，

当点F是过点E的直径的端点时，EF取最大值，此时，OE⊥BC于点H．

又∵OE⊥BC，

∵BH=2，∠BOH=30°，

∴OH=OB2?BH2=42?2=2

2．（2023·临潼模拟）如图所示，P为矩形ABCD中AD边上的一点，已知AB=23，BC=4，若点M在矩形ABCD内部，且∠DMC=120°，则BP+PM的最小值为

【答案】2

【解析】【解答】解：作点B关于AD的对称点B′，连接PB′；以CD为一边向矩形外作等边△CDN，作△CDN的外接圆⊙O，连接OB′交⊙O于点M′，交AD于点P′，连接OM；过点O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接OD，如图：

∵点B与点B′关于AD对称，

∴PB′=PB，

∵△CDN是等边三角形，

∴∠DNC=60°，

∵∠DMC=120°，∠DNC=60°，

∴点M在劣弧CD?上运动，

则OM=OM′，

∵BP+PM=B′P+PM+OM-OM′≥OB′-OM′=B′M′，

即BP+PM的最小值为B′M′的长．

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=23，

∵⊙O是△CDN的外接圆，△CDN是等边三角形，且OF⊥AB，

∴DE=CE=12CD=3，∠ODE=12∠NDC=30°，

∴OD=2OE，

在Rt△DOE中，OD2=DE2+OE2，

即2OE2=32+OE2，

解得：OE=1，

∴OD=2；

在Rt△OFB′中，

∵OF=EF+OE=BC+OE=4+1=5，

FB′=AF+AB′=3+2

3．（2021·安徽模拟）如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=23，点P是△ABC内部一动点，总满足∠APC=150°，连接BP，则BP

A．27?4 B．231?8 C．

【答案】B

【解析】【解答】解：如图，作△APC的外接圆⊙O，连接OA，OC，OB，OP，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．

∵∠APC=150°，

∴∠AOC=60°，

∵OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴AC=OC=OA=OP=8，∠ACO=60°

在Rt△COH中，∠OCH=90°-60°=30°，

∴OH=12OC=4，CH=3OH=4

∵BC=23

∴BH=63

∴OB=BH

∵PB≥OB-OP，

∴BP≥231

∴BP的最小值为231

故答案为：B．

4．（2023·惠山模拟）如图，抛物线y=?12x2+bx

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点B(1，m)是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若OCCD=5

（3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPA=45°？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理由．

【答案】（1）解：把点A的坐标代入函数解析式中，?1

解得：b=5

故所求的解析式为y=?1

（2）解：∵点B在抛物线y=?1

∴m=?1

即B(1，2)；

设直线AB解析式为为y=kx+t，

则有