积化和差和差化积.docx

积化和差与和差化积公式

田云江

[基本要求]

能推导积化和差与和差化积公式，但不要求记忆，能熟练地综合运用两类公式解决有关问题。

[知识要点]

1、积化和差公式：

sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]

cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]

积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个：

sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]

2、和差化积公式

sinθ+sinφ=2sin cos

sinθ-sinφ=2cos sin

cosθ+cosφ=2cos cos

cosθ-cosφ=-2sin sin

和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：

①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos

②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

④合一变形也是一种和差化积。

⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。

3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

[例题选讲]

1、求下列各式的值

①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°

②cos23°-cos67°+2 sin4°+cos26°

③csc40°+ctg80°

④cos271°+cos71°cos49°+cos249°

解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°

= +cos80°+2cos100°cos60°

= +cos80°-cos80°=

拉

②cos23°-cos67°+2 sin4°cos26°

诈

=2sin45°sin22°+ (sin30°-sin22°)

心2

心2

迈 2 迈

= sin22°+ - sin22°=

1 cos8Cf

③csc40°+ctg80°=si芍o+s切80°

泌o豆0° 十cog80° co迅o,;,＋釭 霆40°+cos30° ca忌0°+2ca式0%os2O°

= s切80° =

sm80° =

si成30心

co沾0°+2cos60°七os20° cos40°+cos2OQ

= sin80° = 蹈为80°

2cos30°cos10°

= si另80°

石

=2cos30°=

④解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249°

1-2=(cos71°+cos49°)

1-2

l-2l-4

l-2

l-4

_121-

_12

1-4

_34_l2l

_34

_l2

l-4

=cos211°+ -cos211°+ =

解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°

1+co.s142心 1 1+cCJ98°

= 了 +5(cos120°+cos22°)+ 2

_12l-

_12

l-4

_12

_12

1-2_123-4

1-2

_12

3-4

3-41-2

3-4

1-2

3-4

= +cos120°cos22°+ cos22°=

解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249°y=sin271°+sin71°sin49°+sin249°

则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)

=2+cos22°

x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°)

1-

1-2

1-

1-2

1-

1-2

=- -cos22°

3-4

3-4

2、已知sinα+sinβ=迈

cosα+cosβ=

$－2求

$－2

0忒沁 ＋s切B=

0

@｛ 芯

@

COSQ＋心；；p＝