_新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1第一课时空间向量及其线性运算学案新人教A版选择性必修第一册.docVIP

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空间向量及其线性运算

新课程标准解读

核心素养

1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念

数学抽象、直观想象

2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程

逻辑推理

第一课时空间向量及其线性运算

一天，梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车装满了好吃的东西，于是就想把车子从路上拖下来，三个家伙一齐铆足了劲，使出了平生的力气一起拖车，可是，无论它们怎样用力，小车还是在老地方一步也不动．原来，天鹅使劲往天上提，虾一步步向后倒拖，梭子鱼又朝着池塘拉去．

[问题]同学们，你知道为什么车会一动不动吗？

知识点一空间向量的有关概念

1．定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．

2．长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或eq\a\vs4\al(模)．

3．表示法：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1）几何表示法：空间向量用,有向线段表示；,（2）字母表示法：用字母表示，,若向量a的起点是A，终点是B，,则向量a记作\o(AB,\s\up6(―→))，,其模记为|a|或|\o(AB,\s\up6(―→))|Ｗ.))

4．几个特殊向量

特殊向量

定义

表示法

零向量

长度为eq\a\vs4\al(0)的向量

0

单位向量

模为eq\a\vs4\al(1)的向量

|a|＝1或|eq\o(AB,\s\up6(―→))|＝1

相反向量

与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量

－a

相等向量

方向相同且模相等的向量

a＝b或eq\o(AB,\s\up6(―→))＝eq\o(CD,\s\up6(―→))

共线向量或平行向量

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

a∥b或eq\o(AB,\s\up6(―→))∥eq\o(CD,\s\up6(―→))

空间中的任意两个向量是不是共面向量？

提示：是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)零向量与任意向量平行．()

(2)向量eq\o(AB,\s\up6(―→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(―→))的长度相等．()

(3)空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．()

答案：(1)√(2)√(3)√

2.如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中：

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出eq\o(AA1,\s\up6(―→))的相反向量．

解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量eq\o(AA1,\s\up6(―→))，eq\o(A1A,\s\up6(―→))，eq\o(BB1,\s\up6(―→))，eq\o(B1B,\s\up6(―→))，eq\o(CC1,\s\up6(―→))，eq\o(C1C,\s\up6(―→))，eq\o(DD1,\s\up6(―→))，eq\o(D1D,\s\up6(―→))，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．

(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(―→))的相反向量有eq\o(A1A,\s\up6(―→))，eq\o(B1B,\s\up6(―→))，eq\o(C1C,\s\up6(―→))，eq\o(D1D,\s\up6(―→))，共4个．

知识点二空间向量的线性运算

名称

代数形式

几何形式

运算律

加法

eq\o(OB,\s\up6(―→))＝eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋b

交换律：a＋b＝b＋a；

结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c

减法

eq\o(CA,\s\up6(―→))＝eq\o(OA,\s\up6(―→))－eq\o(OC,\s\up6(―→))＝a－b

数乘

当λ＞0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(―→))＝eq\o(PQ,\s\up6(―→))；

当λ＜0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(―→))＝eq\o(MN,\s\up6(―→))；

当λ＝0时，λa＝0

结合律：λ(μa)＝(λμ)a；

分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb

1．向量线性运算的结果还是向量吗？

提示：是向量．

2．由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?

提示：不能．λa＝0?λ＝