2023北京交大附中高二（上）期中数学试卷含答案.docxVIP

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2023北京交大附中高二（上）期中

数学

说明：本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟.

一、选择题（每道小题的四个选项中只有一个答案正确.每道小题4分，本大题一共40分.）

1.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（）

A. B. C. D.

2.在空间直角坐标系中，点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为（）

A.(-1，-2，3) B.(-1，-2，-3) C.(-1，2，-3) D.(1，2，3)

3.若，则（）

A. B. C. D.

4.直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成角的余弦值等于（）

A. B. C. D.

5.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）

A. B. C. D.

7.某停车场的停车收费标准如下表所示：

停车收费标准

小型车

大型车

白天

（7:00-19:00）

首小时内

2.5元/15分钟

5元/15分钟

首小时后

3.75元/15分钟

7.5元/15分钟

夜间（19:00（不含）-次日7:00）

1元/2小时

2元/2小时

注：白天停车收费以15分钟为1个计时单位，夜间停车收费以2小时为1个计时单位，满1个计时单位后方可收取停车费，不足1个计时单位的不收取费用.

李明驾驶家用小轿车于17:30进入该停车场，并于当天21:10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（）

A.13.5元 B.18.5元 C.20元 D.27.5元

8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）

A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸

9.如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，二面角的大小为.当增大时，（）

A.增大 B.先增大后减小

C.减小 D.先减小后增大

10.如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点，给出下列四个结论：

①三棱锥的体积为定值；

②存在点使得平面：

③的最小值为；

④对每一个点E，在棱上总存在一点P，使得平面；

⑤M是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为

其中正确结论的个数是（）

A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题（每一道小题5分，本题一共25分）

11.已知向量，，，若，则______；若，，共面，则______.

12.在边长为2的正方形中，E是的中点，则______.

13.设动点P在正方体上（含内部），且，当为锐角时，写出实数的一个可能的取值______.

14.如图，在四棱锥中，，，，，平面，则异面直线与之间的距离为______.

15.定义空间中点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离.

（1）在空间中到定点距离为的点围成的几何体的表面积为________；

（2）在空间，定义边长为的正方形区域（包括边界以及内部的点）为，则到距离等于的点所围成的几何体的体积为________.

三、解答题

16.如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，M为AB的中点．

（1）求证：CM⊥平面ABB1A1；

（2）求证：AC1∥平面CMB1．

17.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，F，G分别是，的中点，E是上一点，且.

（1）求证：；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.

条件①：；条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.

18.已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若，求在区间上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x值；

（3）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

19.在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.

图1图2

（1）求二面角的余弦值；

（2）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20.如图1，