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多面体与球的内切和外接常见类型归纳

在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如

下：

一．正四面体与球

SFOA

S

F

O

A

D

E

23的半径，R为外接球的半径。则高

2

3

34高SD= a，OE=r=SE-SO，又

3

4

则在

B

66r= a。R=SO=OB= a

6

6

12 4 C

特征分析：

1． 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一个。

2． R=3r. r=

a R= a。此结论可以记忆。

6612 4

6

6

2例题一。1、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球

2

的表面积为（ ）

6分析：借助结论，R= a=

6

= ,所以S=4?R2=3?。

6234 4 2

6

2

3

2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ）分析：借助R=3r，答案为9：1。

二、特殊三棱锥与球

四个面都是直角三角形的三棱锥。

SSA?面ABC,ABC为直角三角形，BC?AB

S

S

OO因为SA?AC，SB?BC，球心落在SC

O

O

CC的中点处。所以R=SC。

C

C

2 AA

三．正方体与球。 BB

正方体的外接球

即正方体的8个定点都在球面上。

BO

B

O

D

2A 方体的边长为a，则AB=

2

a，BD=2R，AD=a，

C

切。如图：ABCD为正方

R= a。

32

3

D

C

正方体的内切球。

（1）与正方体的各面相 A

体的平行侧面的正方形。

R=a

2

（2）与正方体的各棱相切。

如图：大圆是正方形 ABCD的外接圆。

D

AB

A

B

D

C

2R= a。

2

2

在正方体以一个顶点为交点的三条 棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。

例题：1。正方体的全面积是24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积

是

解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则R=

322?

3

，S=12?。

3一个球与棱长为1的正方体的12条棱都相切，则球的体积

3

解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R==

V=2?

3

1==

222 2

2

2

将棱长为1的正方体削成体积最大的球，则球的体积为

解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。R=1，V=4?。

2 3

P、A、B、C、是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球的体积是

解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的外接球，

所以R=

，V= ?。

332 2

3

3

四、正棱柱与球

正三棱柱外接球。

A1C1D1B1OACD如图所示：过A点作

A1

C1

D1

B1

O

A

C

D

1

点上。利用三角形OAD为直角三角出R.

正四棱柱外接球。 B

为三角形 ABC落在DD的中

1

形，OA=R,可求

道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。

21例题：1。已知一个半径为 的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，

21

则这一正三棱柱的体积是

213解析：如上图，OA= ,OD=a，AD= a，可 求 a

21

3

2 3

3AB

3

A

B

O

D

C

2.正四棱柱ABCD-A

BCD

的各个顶点都在 半径

1 1 1 1

22为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最解析：截面如图：ABCD为正四棱柱的体对角OD=R，设AD=a，底面正方形的边长为b，则

2

2

值，为面

有

DC=

b，则R2=（a/2）2+（

b/2）2，

S=4ba?

2?a2?2b2?=42R2。

ABO

A

B

O

D

C

1．长方体的外接球。

截面图如右图：实质构造直角三角形，与长方体的长宽高。半径为体对角线2．在长方体以一个顶点为交点的三条三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱不相等，它的外接球可把三棱锥补形的外接球，再求解。

联系半径的一半。棱组成的互相垂直成长方体

例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是

解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长方体的外接球，

所以R=52

2

，S=50?。