演示文稿协方差与相关系数.pptVIP

协方差与相关系数本文档共22页；当前第1页；编辑于星期日\18点12分二、相关系数的概念及性质一、协方差的概念及性质三、协方差的关系式本文档共22页；当前第2页；编辑于星期日\18点12分定义：设二维随机向量(X,Y)的数学期望(E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称它为随机变量X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]协方差有计算公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)任意两个随机变量X与Y的和的方差为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)§1协方差本文档共22页；当前第3页；编辑于星期日\18点12分协方差的性质1.2.a,b是常数3.4.本文档共22页；当前第4页；编辑于星期日\18点12分定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X)证明Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[(Y-E(Y))(X-E(X))]=Cov(Y,X)定理:Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数证明Cov(aX,bY)=E[(aX-E(aX))(bY-E(bY))]=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]}=abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=abCov(X,Y)本文档共22页；当前第5页；编辑于星期日\18点12分定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)证明Cov(X+Y,Z)=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)]=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]+[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]}+E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)本文档共22页；当前第6页；编辑于星期日\18点12分协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.本文档共22页；当前第7页；编辑于星期日\18点12分定义:设二维随机变量(X,Y)的方差D(X)0,D(Y)0,协方差Cov(X,Y)均存在,则称为随机变量X与Y的相关系数或标准协方差.§2相关系数本文档共22页；当前第8页；编辑于星期日\18点12分引理:对于二维随机向量(X,Y),若E(X2),E(Y2)存在,则有|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)证明:考虑实变量t的二次函数h(t)=E[(tX-Y)2]=t2E(X2)-2tE(XY)+E(Y2)因为对一切t,有(tX-Y)2≥0,所以h(t)≥0.从而二次方程h(t)=0或者没有实根,或者只有重根,因而，由二次方程根的判别式知识得|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)本文档共22页；当前第9页；编辑于星期日\18点12分§2.1相关系数的性质性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1.性质2:|ρXY|=1的充要条件是,存在常数a,b使得P{Y=a+bX}=1.性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0.本文档共22页；当前第10页；编辑于星期日\18点12分性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1.证明令则从而|ρXY|≤1.本文档共22页；当前第11页；编辑于星期日\18点12分性质2:|ρXY|=1的充要条件是,存在常数a,b使得

P{Y=aX+b}=1证明令由ρXY