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2017年全国高中数学联赛A卷一试

一、填空题

设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x?3)?f(x?4)??1.又当0?x?7

时，f(x)?log(9?x)，则f(?100)的值为 .

2

若实数x,y满足x2

2cosy?1，则x?cosy的取值范围是 .

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:

x2?y2

?1，F为C的上焦点，A为C的

9 10

右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 .4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是

正三棱锥P?ABC中，AB?1，AP?2，过AB的平面?将其体积平分，则棱PC与

平面?所成角的余弦值为 .

在平面直角坐标系xOy中，点集K??(x,y)x,y??1,0,1?.在K中随机取出三个点，则

5这三点中存在两点之间距离为

5

的概率为 .

在?ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若?A??

3

，?ABC的面积为

3，则AM?AN的最小值为 .

3

设两个严格递增的正整数数列?a

n

?,?b

n

?满足：a

10

?b ?2017，对任意正整数n，有

10

a

n?2

?a

n?1

a，b

n n?1

?2b

n

，则a

1

b的所有可能值为 .

1

二、解答题

2设k,m为实数，不等式x2?kx?m?1对所有x??a,b?成立.证明：b?a?2 .

2

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设x,x,x

是非负实数，满足x ?x ?x

?1，求(x?3x ?5x)(x?x2?x3)的最

1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 3 5

小值和最大值.

设复数z,z

满足Re(z

)?0，Re(z

)?0，且Re(z2)?Re(z2)?2（其中Re(z)表

1 2 1 2 1 2

示复数z的实部）.

（1）求Re(zz)的最小值；

12

（2）求z ?2?z ?2?z ?z 的最小值.

1 2 1 2

2017年全国高中数学联赛A卷二试

一.如图，在?ABC中，AB?AC，I为?ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆?，

1

以I为圆心，IB为半径作圆? ，过点B,I的圆? 与

2 3

?,?

1 2

分别交于点P,Q（不同于点B）.设IP与BQ交

于点R.证明：BR?CR

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二.设数列?a

?定义为a

?1，a

?a ?n,a ?n,

???n n

?

n?1,2,?.求满足a

?r?32017

n 1

的正整数r的个数.

n?1

a ?n,a

n n

?n, r

三.将33?33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.

四.设m,n均是大于1的整数，m?n，a,a

1 2

,?,a

n

是n个不超过m的互不相同的正整数，

且a,a

1 2

,?,a

n

2

互素.证明：对任意实数x，均存在一个i(1?i?n)，使得

ax?

i

m(m?1)

x，这里y 表示实数y到与它最近的整数的距离.

2017年全国高中数学联赛A卷一试答案

1.

2.

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3.

答案．...3扣

2

解：易知A(3,0),F (?,l)．设P的坐标是(3coslJ,而.sin0),。中叶则

l 广

S因Jrr =S如 r-IS凶Fi.=－13·\i1(l$｀lnH|－,l·．飞以）5(寸

2＝｀2 ｀违lSl1叩＝亚s i（n历 ）飞

2

而， 才扣

共中尸 昭皿— ．当（｝＝aIC13l1』了时 四边形0.APF而积的辰大位为3 ,

l0 2

4.

答案!7