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2018

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题

一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.

下列函数中，在x?0处不可导的是（）

xf?x??xsinx (B) f?x??xsin

x

x(C) f?x??cosx (D) f?x??cos

x

设函数f?x?在?0,1?上二阶可导，且?1

0

f?x?dx?0,则（）

(A)当f?(x)?0时,f(1)?0 (B)

2

当f?(x)?0时,f 1 ?0

( )2

( )

(C)当f?(x)?0时,f(1)?0

2

(D)

当f?(x)?0时,f 1 ?0

( )2

( )

设M

???

?1?x?2

dx,N

???

1?x

dx,K

???

?1? cosx

?dx,则（）

?

2?? 1?x2

2

22?? ex ??

2

2

2 2 2

M?N?K (B)M?K?N

(C)K?M?N (D)K?N?M

(4)

(4)设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量.若产量为Q时平均成本最小，则(

0

)

(A)

C?(Q)?0

0

(B)

C?(Q)?C(Q)

0 0

(C)

C?(Q)?QC(Q)

0 0

0

(D)

QC?(Q)?C(Q)

0 0 0

?1 1 0?

下列矩阵中，与矩阵?0 1 1?相似的为（ ）

? ?

?0 0 1?

?

?1 1 ?1?

(A) ?0 1 1?

?

?1 0 ?1?

(B)?0 1 1?

? ? ? ?

?0 0 1? ?0 0 1?

? ? ? ?

?1 1 ?1? ?1 0 ?1?

(C) ?0 1 0? (D) ?0 1 0?

? ? ? ?

?0 0 1? ?0 0 1?

? ? ? ?

设A、B为n阶矩阵，记r?X?为矩阵X的秩，?X,Y?表示分块矩阵，则（ ）

(C)r A?,B ?maxr A,r B???????(D) r?A,B?

(C)

r A

?

,B ?maxr A,r B

?

?

?

?

?

?

?

(D) r?A,B??r?ATBT?

（7）设随机变量X的概率密度f?x?满足f?1?x??f?1?x?,且?2

0

f?x?dx?0.6,则P?X?0??（ ）

(A) 0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5

设X,X

1

,...,X

2 n

(n?2)为来自总体N(?,?2)(??0)的简单随机样本，令X?

1?n X,

n i

i?1

1S? n?1

1

?n(X

i

i?1

?X)2,S*?

1?n(Xn i

i?1

??)2,则（ ）

(A) n(X??)~t(n)

S

(B) n(X??)~t(n?1)

S

(C)

n(X??)~t(n)

S*

(D)

n(X??)~t(n?1)

S*

二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.

曲线y?x2?2lnx在其拐点处的切线方程是 .

?exarcsin 1?e2xdx???.

差分方程?2y ?y

x x

?5的通解是 .

(12)设函数f?x?满足f?x??x??f?x??2xf?x??x?o??x???x?0?,且f?0??2,则f?1??

.

设A为3阶矩阵,a,a,a是线性无关的向量组,若Aa

?a?a

,Aa

?a?a

,Aa

?a?a,

1 2 3

则A= .

1 1 2

2 2 3

3 1 3

随机事件A,B,C相互独立,且P?A??P?B??P?C??1,则P?ACA B??

2 .

三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)

?? ?1 ?

a,b lim ax?be ?x ?2,求a,b.

已知实数 满足 ? x ?

x???? ?

?(16)(本题满分10分)

?

设平面区域D由曲线y? 3

(1