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3.4基本不等式: 2023/10/15 1 一、问题引入 2002年国际数学大会 (ICM-2002)在北京召开，此 届大会纪念封上的会标图案，其 中央正是经过艺术处理的“弦图”。 它标志着中国古代的数学成 就，又像一只转动着的风车，欢 迎来自世界各地的数学家。 2023/10/15 2 新课探究 2023/10/15 3 新课探究 2023/10/15 4 思考： 如何证明？ 2023/10/15 一般地，对于任意实数 时等号成立 当且仅当 ，我们有 5 当且仅当 时， 证明： 此时 2023/10/15 6 2.代数意义： 几何平均数小于等于算术平均数 2.代数证明: 3.几何意义： 半弦长小于等于半径 3.几何证明: 从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项 (当且仅当a=b时，等号成立) 去替换 ,能得到什么结论? 用 中的 1.思考:如果当 二、新课讲解 2023/10/15 7 算术平均数 几何平均数 2023/10/15 8 当且仅当a=b时，取“=”号 能否用不等式的性质进行证明？ 小组合作： 2023/10/15 9 在右图中， AB是圆的直径， 点C是AB上的一点， 设 AC = a , BC = b 。 过点C作垂直于AB的弦DE， 连接AD、BD。 基本不202等3/10式/15的几何意义是： “半径不小于半弦。 ” P98探究 10 1.如图,AB是圆o的 直径， Q是AB上任 一点， AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于AB 的弦PQ，连AP,BP, 则半弦PQ=__ __, 半径AO=_____ 2.PQ与AO的大小关系怎样? A a o b 你能用这个图得出基本 不等式的几何解释吗? 几何意义： 圆的半径不小于圆内半弦长 P Q 2023/10/15 11 动态演示 B 证明:当 证明:要证 只要证 ④ ④中的等号成立. 显然: 是成立的,当且仅当 2023/10/15 ② ③ ④ 要证②，只要证 要证③，只要证 ( ( ) － ) , ① ( ) 时 12 . 平方 2023/10/15 13 当且仅当a=b时，等号成立. 基本不等式： 当且仅当a =b时，等号成立. 注意： (1)不同点：两个不等式的适用范围不同。 (2)相同点：当且仅当a=b时，等号成立。 2023/10/15 14 重要不等式： 1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数. 2.基本不等式 (均值定理) 此定理又可叙述为： 15 知识要点： 1. 基本不等式： 如果a≥0 ，b≥0，那么 (当且仅当__a_ b____时取“＝”号)． 基本不等式的变形： (当且仅当a=b时取“＝”号)． 2023/10/15 17 ≥ 2023/10/15 18 重要变形2 (由小到大) 若等号成立， a与b必须能 够相等 积定和最小 和定积最大 应用基本不等式求最值的条件： a与b为正实数 2023/10/15