柱坐标系下的弹性力学问题.docxVIP

柱坐标 柱坐标系下的弹性力学问题 柱坐标是在极坐标的基础上发展起来的，相当于地将极坐标面向z方向拓展，在极坐标里确定一点的位置坐标为 (ρ,ψ)，在柱坐标里则为(ρ,ψ,z)。 图1 柱坐标示意图 我们知道，极坐标在处理圆形、扇形、楔形等平面问题时具有显著的优势。当弹性体具有空间轴对称性时，采用柱坐标将会带来极大的方便性。所谓空间轴对称问题，则弹性体关于通过对称轴的任意平面都对称。此外，轴对称也是绕轴对称，过对称轴做任意平面与空间几何体相交，产生的形状都相同。常见的空间轴对称结构如圆柱体、圆台、圆锥和椭球体等。 图2 工程上的各类轴对称结构举例 空间轴对称弹性力学问题，除了要求弹性体几何上具有轴对称性，还必须要求其所受的载荷和约束也是轴对称的。举例而言，混凝土浇筑管道，在其外表面360°受相同的位移约束，为轴对称约束；当管道内受均匀内压时，其载荷也为轴对称。此时，求解管道的应力、应变、位移，该问题可简化为轴对称问题，且应力、应变、形变位移也应该具有空间轴对称性。 图3 混凝土浇筑管道其约束和载荷轴对称示意图 以下分别讨论空间轴对称问题的基本方程，以及其边界条件。我们先分析空间轴对称问题的形变位移。 1轴对称问题的位移分析 对于空间轴对称问题，因为弹性体的几何结构、载荷、约束均为轴对称，其变形也必然为轴对称，设uρ、uφ、w?是弹性体的形变位移分量，则可以导出uφ≡0。如图4所示，设p?和p?的位移绕z?轴对称，旋转任意角度后位移分量都相同，考虑绕轴对称，从P?点旋转到p点，其环向位移方向如图中实线所示。另一方面，轴对称问题过对称轴的任意平面都是对称平面，因此p?和p 的位移又关于y?轴对称，p 点的环向位移为图中虚线所示。由于p 不能同时向两个相反方向运动，所以p 点的位移只能为0，即uφ≡0。 图4 轴对称图形上点的环向位移 可见轴对称问题位移分量uφ?与φ?的取值无关，同理也可以证明轴对称问题uρ（ρ?方向的位移）和w（z?方向的位移）也与φ?无关，它们只是 (ρ,?z) 的函数，具有相同z?坐标和ρ?坐标的点，其uρ?和w?均相同。 现在我们来考虑柱坐标系下弹性体的变形问题，推导坐标系下的几何方程。参考图5所示的构型P-ABC，设PA=dρ，PB=ρdφ，PC=dz。以下分别考虑ρ?和z?两方向位移产生的应变分量，然后叠加得到总的应变分量。 图5 推导几何方程的空间构型 ?(1) 只有径向（ρ?方向）位移时 PB变形前长ρdφ，变形后长 (ρ+uρ)dφ（设径向位移量为uρ），因此 对于PA，设P点位移uρ，则A点位移uρ+(?uρ/?ρ)dρ，因此 对于PC，设P点位移uρ，则C点位移uρ+(?uρ/?z)dz，因此PC变形后的长度为√dz2+(?uρ/?z)2，考虑小变形假设，有?uρ/?zdz，因此，PC变形后的长度近等于原长，因此εz=0。 考察∠APB的改变量，由于只有径向位移，PA不发生偏转。从P点到B点，只是φ?坐标增加dφ，因此P点和B点方向位移相等，因此PB也不发生偏转。所以γρφ=0。 考察∠BPC的改变量，由于P点和B点在ρ?方向位移相等，变形前后PB都垂直于面PAC，而PC只在面PAC中变形，因此PB变形前后都垂直于PC。所以γzφ=0。 考察∠APC的改变量，因为P点位移uρ，则C点位移uρ+(?uρ/?z)dz，因此PC将发生偏转，同时也是γzρ?的取值为 (2) 只有轴向（z方向）位移时 对于PA和PB，变形后它们可能略有倾斜，由于小变形假设，倾斜量很小，它们变形后的长度近似等于变形前的长度（类似于只考虑径向位移时，PC的变化），因此有ερ=0，εφ=0。 对于PC，设P点位移为w，则C点位移为w+(?w/?z)dz，因此 考察∠APB的改变量，考虑对称性，P点和B点在z方向的位移相等，当只有z方向位移时，PB始终垂直于面PAC，因此，γρφ=0。 考察∠BPC的改变量，只有z方向位移时，PC不发生偏转，PA可能发生偏转。设P点位移为w，则A点位移为w+(?w/?ρ)dρ，因此 (3) 叠加 当同时存在径向位移和轴向位移时，叠加上述两种情况下的应变分量，得到空间轴对称问题总的几何方程，为 γzφ≡0，γρφ≡0，求解空间轴对称问题时，可以不予考虑。 ? 2?物理方程?? 上式所示，即为空间轴对称问题的几何方程，可以看出对于空间轴对称问题，只需要考虑4个应变分量。现在考虑广义胡克定律，有 由于γzφ≡0，γρφ≡0。可以导出τzφ=0和τρφ=0。因此，广义胡克定律只有4个方程。将上式中前三项相加，得 θ?称为体积应变，有θ=ερ+εφ+εz，Θ 称为体积应力，有Θ=σρ+σφ+σz。将广义胡克定律写成以应变表示应力的形式为 从上式可以更清楚的看到，空间轴对称问题只需要考虑4个应力分量，减少了