机 械 波（公共基础课）.pptVIP

第二节 平面简谐波的波函数 图12-5 平面简谐波 第二节 平面简谐波的波函数 如图12- 6所示，现在考察波线上另一任意点P处的质点的运动情况，P点的坐标为x.若波是在无吸收的均匀无限大介质中传播，则P点处的质点将以相同的振幅和频率重复O点处质点的振动，但时间要晚一点.振动从O点传播到P点需时间因而P点处质点t时刻离开平衡位置的位移等于O点处质点在时刻离开平衡位置的位移，即P点振动方程为 (12-7） 第二节 平面简谐波的波函数 图12- 6 建立波函数 第二节 平面简谐波的波函数 如果简谐波是沿x轴负方向传播的，那么P点处质点的振动在步调上要超前于O点处质点的振动，所以，只要将式(12-7)中的负号改为正号即可得到相应的波函数.此时的P点振动方程为 (12-8） 若O点的振动初相不为零，即 y0=Acos(ωt+φ0) 第二节 平面简谐波的波函数 第二节 平面简谐波的波函数 波函数的物理意义 二、 由式(12- 9) 知，平面简谐波的波函数是一个余弦函数，含有x和t两个自变量.波函数在时间和空间上都具有周期性特征.为了进一步理解波函数的物理意义，在此讨论以下三种情况. 第二节 平面简谐波的波函数 介质中某一给定点x的振动 1. 当x=x0为给定值时，y仅为时间t的函数，即得x0点的简谐振动方程.其简谐振动的周期为T，频率为ω，振动的初相为-2π.可见，离O点不同距离的各点具有不同的振动初相. x0点的振动初相位落后于O点.可以导出同一质点在相邻两个时刻的振动相位差为 (12- 12) 这反映了波函数在时间上的周期性. 第二节 平面简谐波的波函数 在给定时刻t介质中各质点的振动 2. 当t=t0为给定值时，y只是x的周期函数，它给出t0时刻波线上各个不同质点的位移（见图12-7），在沿着波传播方向上，各质点的振动相位依次落后，与O点相距分别是x1和x2的两点的相位差为 (12- 13) ?如果考虑x1和x2的距离Δx=λ，代入上式，则Δφ=0.说明这两点的振动状态完全相同，这反映简谐波的空间周期性. 第二节 平面简谐波的波函数 图12- 7 t=t0时的波形 第二节 平面简谐波的波函数 观察任意时刻任意位置质点的振动情况 3. 当x、t都变化时，波函数式为 上式给出了波线上各个不同质点在不同时刻的位移，或者说它包括了各个不同时刻的波形，即反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程.图12-8所示为对应t时刻和t+Δt时刻的波形图，它反映了波动过程中波形的传播. 第二节 平面简谐波的波函数 图12- 8 波形的传播 第二节 平面简谐波的波函数 设t时刻x处的某个振动状态经过Δt传播了Δx，用波函数表示即为 亦即 y(t+Δt,x+Δx)=y(t,x) (12-14) 这就是说，想获得t+Δt时刻的波形，只要将t时刻的波形沿波的前进方向移动距离Δx=uΔt即可.故式(12-14)描述的波称为行波. 第三节 波 的 能 量 波动传播时，波源的振动通过弹性介质由近及远地传播出去.介质中各质元都在各自的平衡位置附近振动，因而具有动能，同时介质要产生形变，所以还具有弹性势能.因此，在振动传播的同时伴随着机械能量的传播，这是波动的重要特征之一. 第三节 波 的 能 量 波能量的传播 一、 图12- 10 棒中纵波的传播 第三节 波 的 能 量 第三节 波 的 能 量 第三节 波 的 能 量 第三节 波 的 能 量 能流 能流密度 二、 波动的能量在不断传播，所以不仅要讨论波动的能量分布，还要描述它的传播.在单位时间内通过垂直于波线方向的单位面积上的平均波的能量，称为能流密度，以I表示，能流密度是一个矢量，其方向就是波速的方向.如图12-11所示，在介质中设想作一截面垂直于波线方向的长方体，其截面面积为S，长为波速u.这个长方体内分布波的能量为uS，称为平均能流，用表示.在单位时间内，这些波的能量全部流过截面面积S.于是，能流密度I表示为