定积分的应用.pptxVIP

定积分的应用 定积分的应用定积分在几何学、物理学和经济学等方面有着广泛的应用.本节主要介绍利用定积分求面积、体积、弧长、变力做功、水压力、引力、转动惯量等问题.利用定积分解决实际问题，不仅要会解决某一具体问题，更重要的是要学会掌握用定积分解决问题的基本思想和基本方法、步骤.要做到这一点，需把握下面两个问题：一是什么样的问题能用定积分来解决？二是用什么样的方法可以把实际问题转化为定积分问题？下面就这两个问题展开讨论分析. 一、 定积分的微元法定积分的所有应用问题，一般可按“分割、近似、求和、取极限”这四个步骤把所求量表示为定积分的形式.为更好地说明这种方法，先来回顾第五章中讨论过的求曲边梯形面积的问题.假设一曲边梯形由连续曲线y=f(x)［f(x)≥0］，x轴与两条直线x=a，x=b所围成，试求其面积A. 一、 定积分的微元法(1)分割.用任意一组分点把区间［a,b］分成长度为Δxi(i=1,2,…,n)的n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，记第i个小曲边梯形的面积为ΔAi.(2)近似.第i个小曲边梯形面积的近似值 ΔAi≈f(ξi)Δxi(xi－1≤ξi≤xi).(3)求和.所求曲边梯形面积A的近似值(4)取极限.所求曲边梯形面积A的精确值其中λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}. 一、 定积分的微元法由上述过程可见，把区间［a,b］分割成n个小区间时，所求面积A(总量)也被相应地分成n个小曲边梯形(部分量)，而所求总量等于各部分量之和( )，这一性质称为所求总量对于区间［a,b］具有可加性.此外，以f(ξi)Δxi近似代替部分量ΔAi时，其误差是一个比Δxi更高阶的无穷小.这两点保证了求和、取极限后能得到所求总量的精确值. 一、 定积分的微元法对上述过程，在实际应用中可略去下标i，改写如下：(1)分割.把区间［a,b］分割为n个小区间，任取其中一个小区间［x,x+dx］(区间元素)，用ΔA表示［x,x+dx］上小曲边梯形的面积，于是，所求面积 A=∑ΔA. 一、 定积分的微元法(2)近似.取［x,x+dx］的左端点x为ξ.以点x处的函数值f(x)为高、dx为底的小矩形的面积f(x)dx(面积元素，记为dA)作为ΔA的近似值(见图6-7)，即 ΔA≈dA=f(x)dx.图 6-7 一、 定积分的微元法(3)求和.所求曲边梯形面积A的近似值 A≈∑dA=∑f(x)dx.(4)取极限.所求曲边梯形面积A的精确值 A=lim∑f(x)dx=∫baf(x)dx.由上述分析，可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U(总量)表示为定积分的方法——元素法，这个方法的主要步骤如下： 一、 定积分的微元法(1)根据具体问题，选取一个积分变量，如x为积分变量，并确定它的变化区间［a,b］，任取［a,b］的一个区间元素［x,x+dx］，求出相应于这个区间元素上的部分量ΔU的近似值，即求出所求总量U的元素 dU=f(x)dx.(2)根据dU=f(x)dx写出表示总量U的定积分 U=∫badU=∫baf(x)dx. 一、 定积分的微元法应用元素法解决实际问题时，用定积分所表示的量U有三个共同特征：(1)所求总量U的大小取决于某个变量x的一个变化区间［a,b］，以及定义在该区间上的函数f(x).(2)所求总量U关于区间［a,b］应具有可加性，即区间［a,b］上的总量U等于各子区间上的部分量之和.(3)部分量ΔU可以求近似值，且有f(x)dx=dU≈ΔU.在通常情况下，要检验ΔU－f(x)dx是否为dx的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用中要注意dU=f(x)dx的合理性. 二、 定积分在几何学上的应用平面图形的面积1. 应用定积分，不但可以计算曲边梯形的面积，还可以计算一些比较复杂的平面图形的面积. 二、 定积分在几何学上的应用1）直角坐标情形如果一个平面图形D是由曲线y=f(x)，y=g(x)和直线x=a，x=b(ab)围成，并且在［a,b］上有f(x)≥g(x)，如图6-8所示.图 6-8 二、 定积分在几何学上的应用穿过区域D内部且平行于y轴的直线与区域D的边界相交不多于两点，此区域D为X型区域.对于这种X型区域，取x为积分变量比较方便，其变化区间为［a,b］.在［a,b］上任取一个窄条区间［x,x+dx］，则区间［x,x+dx］