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常用拉普拉斯变换总结
1、指数函数
? 0
f (t) ? ? ??
t ? 0
,其中,A 和 a 为常数。
?Ae t t ? 0
L[ Ae??t ] ? ?? Ae??te?st dt ? A?? e?(? ? s )t dt ? A
0
2、阶跃函数
?0
f (t) ? ?
?A
t ? 0
t ? 0
0
,其中,A 为常数。
s ??
L[ A] ? ?? Ae?st dt ? A
0 s
3、单位阶跃函数
?0
u(t) ??
?1
L [ u ( t )] ?
4、斜坡函数
t ?0 t ?0
1? ? e ? st d t ?
1
0 s
? 0
f ( t ) ? ?
? At
t ? 0
e? stst ? 0
e? st
s
L[ At] ? ??
Ate? st dt ? At
? ? ??
Ae? st dt
0
? A ?
0
? e ? st d t ?
0 ? s
A
s 0 s 2
0 0A=1 时的斜坡函数称为单位斜坡函数,发生在t=t 时刻的单位斜坡函数写成r(t-t )
0 0
5、单位斜坡函数
?0
f (t) ? ?
?t
t ? 0
t ? 0
L[t] ? ??
te? st dt ? t
e? st
? ? ?
? e? st dt
0 ? s
0
0 ? s
? 1 ? ? e?st dt ? 1
s 0 s 2
6、正弦函数
? 0
?f (t) ? ?Asin? t
?
f (t )
t ? 0
?,其中A 为常数。
?
t 0
f (t )
0 t
(a)
0 t
(b)
图 2.3 正弦函数和余弦函数
根据欧拉公式: 拉式变换为:
sin ? t ? 1 ( e j? t ? e ? j? t )
2 j
L[Asin?t] ?
A ? ?(ej?t
2 j 0
?e? j?t )e?stdt
? A 1 ? A 1 ? A?
2 j s ? j? 2 j s ? j? s2 ??2
同理余弦函数的拉式变换为: L[ A cos?t] ?
7、脉动函数
? A
As s2 ? ?2
?f (t) ? ?t
?
0 ? t ? t
0
,其中,A 和 t
为常数。
?? 00
0
t ? 0, t ? t
0
00 0脉动函数可以看做是一个从 t=0 开始的高度为 A/t 的阶跃函数,与另一个从 t=t 开始的高度为 A/t
0
0 0
f (t) ? A u(t) ? t
0
A u(t ? t )
t 0
0
? A ? ? A ?
L[ f (t)] ? L? u(t)? ? L? u(t ? t )?
?00t ? ?t 0 ?
?
0
0
A A0? ? e?
A A
0
? (1? e?st )
A0t s t s t s
A
0
0 0 0
8、脉冲函数
脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。
??lim A
???0g(t) ? ?
?
??0
? 0
0 ? t ? ?
t ? 0, ? ? t
? ??s
? ??s ? ?
L[g(t)] lim? (1 e?s? )?
d ?
d ? ?
? lim
A(1? e?s? )
Asd? ? ? A
As
??0 d
d?
9、单位脉冲函数
??s? s
当面积A=1 的脉冲函数称为单位脉冲函数,或称为狄拉克(Disac)函数,
?? (t ? t ) ? ? 0
?
0 ?
t ? t
0
?
? ? ? (t ? t )dt ? 1
-? 0
t ? t
0
量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设,而不可能在物理系统中发生。但是,如果系统的脉动输入量值很大,而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时,可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
当描述脉冲输入时,脉冲的面积大小是非常重要的,而脉冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。
单位脉冲函数? (t ?t ) 可以看作是单位阶跃函数u(t-t )在间断点 t=t 上的导数,即
0 0 0
? (t ? t
0
) ? d u(t ? t ) dt 0
相反,如若对单位脉冲函数? (t ?t
? t ? (t ? t )dt ?u(t ? t )
t0 0 0
) 积分:
0
积分的结果就是单位阶跃函数 u(t-t0)
利用脉冲函数的概念,我们可以对包含不连续点的函数进行微分,从而得到一些脉冲, 这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。
10、加速度函数
?At 2
f (t) ? ?
? 0
拉氏变化为:
t ? 0
t ? 0
,其中,A 为常
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