2018常微分方程考研复试题库及答案.docxVIP

123――――132 133――――138 139――――143 144――――145 146――――150 151――――156 157――――162 164――――167 168----173 174――――177 178――――180 181--------------------184 185―――――189 190――――192 193――――194 195――――198 199――――202 203――――205 206――――210 211――――216 217――――221 222――――226 227――――229 230――――233 234――――235 236――――241 将(2x-4y+6)dx+(x+y-3)dy=0 化为齐次方程。 dy 求解 dx =f(x+y+1) 说明当p(x 连续时,线性齐次方程的 0 解唯一。 证明线性齐次方程任意两个解的与与差仍就是它的解。 常数变易法用变换y=C(x)exp(- ? p(x) dx)与线性齐次方程通解有什么不同 x 1 1 ? x 2  y=0、 ? dy ? y cos x 求初值问题的解 ? dx ? y(0) ? 1 dy 求解 －2xy=4x、 dx 251 求解方程y `－2y= x 2 exp(2x),y(0)=0、 dy 1 解方程 = dx x ? y 2设 y (x),y (x)就是一阶线性方程两个不相同的特解,试用这两个特解来表示通解。 2 1 254、用变量替换或微分方法将下面方程化为线性 （1） xdx=( x 2 －2y+1)dy （2） (x+1)(y y `-1)= y 2 （3） y(x)= ? x y(t)dt ? x+1 0 化下列方程为线性方程 y4 y （1） y’- y=x x （2） y’= y 2 -- x 2 -1 将方程ydx+(y-x)dy=0 给两种解法。 试证明:凡具有通解为y=C? (x) +? (x)式的一阶方程都就是线性方程。其中? (x) , ? (x) 为可微函数。常微分方程 2 答案 123――――132 答案， 方程 是欧 拉方 程，其特 征方程为 r(r-1)-r+l= 0致(r- 1)2 = 0, 已有一个二重实报r = 1，故通解为 y = e（? 乌＋C2 t) ＝Cl x + C2 J(ln x. 令 X = e1, 求导数有y， 入 ，y X2 =,(,y 2 一凡）e ,代入方程得 =yte--r，＇＂ -21平勹）e－2t - 2号e-4: + =yte--r，＇＂ -21 戊 —心y -—dy + 2y = 0, 它的恃征方程 卢 － 3r + 2 =0. 征根 r1=l.r2=2, 解为 y= c1e t + c2 户 ， 回原变盂得 y =. C1x+C2xl 出 2 dt 3, 证明；作 自变 呈 的替换 t = e-?, 咑 中 出 一X 吩 —=—·—=－e — 应 忒 沈r dt d2y= _-2x d2 y . _-x dye d2y = _-2x d2 y . _-x dy 心 2 小 2 dt 所以办 y dy心y. dy. dy—+ — ＋ e-2?y = e-2?—=:--::,- +e-? — －尸—＋ a 所以办 y dy 心y . dy . dy dxl dt. dtl dt dt —心y dx2  + ay = O ，己的通解为 、方程的通解是 c1 cos品 叶尸．＋ 叶尸．＋ CI cos 甚尸 ＋c 2sin Fa e气 x + C 沪 二 f , ＋ c 2 sin 抎， C ?.e－尽 ， 当a O时 当a 0时 当＂之 当＂之0时 当a 0时 4． 令 X = e t , 原方 程化为 恃征方程 户 － 4r + 5 = 0, 得 r1 = 2+ l凸 ＝ 2－趴 因而 y ＝卢（c1 cost+ c2 sin t) 换回原变盘f导  心y dy —- 4 + :Sy = 0 — dt::i dt y = x2 (c1 cosln x +c2 sin 1n.x) 5， 作 自变堡的替换 寸＝ Q; ， 则 s = ln t. dx dx ds d1i: 心 一＝一·一＝g －r 一 ＝ i－l 一 ． 心必心 ds ds －心 li _ d 1i: 心 x － —= i- 3 一 ＋ t -2 — 心 2 ds 必 2 从而方程变成  忒x - 2—北 心心2  + 2x = 583 此方程的将征方程 江－ 2r +2 = O,r = 1 士t , 对应齐次方程通沪 r ＝穸（c1 cos s +c :l sin x) ，日 1 不 是