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(完整word版)线性代数习题 (完整word版)线性代数习题 PAGE PAGE 47 (完整word版)线性代数习题 第一章 行列式 4。计算下列各行列式： (1）； （2）； （3）； （4) 解 （1）== =0 （2) =0 (3)=== (4）= == 5。证明： (1)=； （2）=； （3); （4）； (5）. 证明 (1） (2） （3） (4） = = = = = (5) 用数学归纳法证明 假设对于阶行列式命题成立,即 所以，对于阶行列式命题成立. 6。设阶行列式，把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得 ， ，， 证明. 证明　 同理可证 7.计算下列各行列式（）： (1），其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0； （2)； (3) ; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4） ; （5）; （6),。 解 （1） （） （2）将第一行乘分别加到其余各行,得 再将各列都加到第一列上，得 (3） 从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…, 经次行交换，得 此行列式为范德蒙德行列式 (4) 由此得递推公式： 即 而 得 （5) = (6) 8。用克莱姆法则解下列方程组: 解　(1） ； (2） （） ． 9.有非零解？ 解 ， 齐次线性方程组有非零解，则 即 得 不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解。 10。 有非零解？ 解 齐次线性方程组有非零解，则 得 不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解. 第二章　矩阵及其运算 1? 已知线性变换? ? 求从变量x1? x2? x3到变量y1? y2? y3的线性变换? 解 由已知? ? 故 ? ? 2? 已知两个线性变换 ? ? 求从z1? z2? z3到x1? x2? x3的线性变换? 解 由已知 ? 所以有? 3? 设? ? 求3AB?2A及ATB? 解 ? ? 4? 计算下列乘积? (1）? 解 ? (2)? 解 ?(1?3?2?2?3?1）?（10)? (3)? 解 ? （4) ? 解 ? (5）? 解 ?(a11x1?a12x2?a13x3 a12x1?a22x2?a23x3 a13x1?a23x2?a33x3） ? 5? 设? ? 问? (1）AB?BA吗？ 解 AB?BA? 因为? ? 所以AB?BA? （2）(A?B)2?A2?2AB?B2吗？ 解 （A?B）2?A2?2AB?B2? 因为? ? 但 ? 所以（A?B）2?A2?2AB?B2? (3)(A?B)(A?B)?A2?B2吗？ 解 （A?B)（A?B）?A2?B2? 因为? ? ? 而 ? 故(A?B）(A?B）?A2?B2? 6? 举反列说明下列命题是错误的? (1)若A2?0? 则A?0? 解 取? 则A2?0? 但A?0? (2）若A2?A? 则A?0或A?E? 解 取? 则A2?A? 但A?0且A?E? （3）若AX?AY? 且A?0? 则X?Y ? 解 取 ? ? ? 则AX?AY? 且A?0? 但X?Y ? 7? 设? 求A2? A3? ? ? ?? Ak? 解 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 8? 设? 求Ak ? 解 首先观察 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 用数学归纳法证明? 当k?2时? 显然成立? 假设k时成立，则k?1时，