一阶线性微分方程.pptVIP

目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程 微分方程课程的一个主要问题是求解， 即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来，但对一般的微分方程是无法求解的，如对一般的 二元函数 ，我们无法求出一阶微分方程 （1） 的解，但是对某些特殊类型的方程，我们可设法转化为已解决的问题进行求解。 §1.3 线性方程 一阶微分方程 （1.3.1） 若关于未知函数 和 是线性的，称为线性方程。 定义 一、 线性齐次方程 （1.3.2） 为线性齐次方程。 若 中 时，称 求解思想： 将（1.3.2)进行变形，将方程左端整理成某一个函数的导数，再进行积分求解。 例1.3.1 求线性齐次方程 （1.3.3） 的通解。 解：对于（1.3.3）的两端乘以 得 由于 故（1.3.3）等价于 即方程（1.3.3）的通解为 故 其中 为任意常数。 一般地，对方程 即 整理得通解为 后得 两端同乘以 二、 线性非齐次方程 1.积分因子法 给方程两边乘以函数 两种解法 变成一个函数的导数， ，使左边 整理得： 积分得通解： 称为方程的积分因子。 2.常数变易法 先求（2.1.1）对应的齐次方程的通解为： 思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为函数，代入原方程后确定出该方程的通解。 再把通解表达式中的常数C换成一个待定函数 。 即令 整理得通解为： 将 和 代入 得 线性微分方程解的性质: 1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。 2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。 3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍 为非齐次方程的解。 4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。 5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程 的通解之和是非齐次方程的通解。 初值问题 的解为 初值问题 的解为 数，求微分方程 的 周期解。 解：齐次方程 的通解为 方程 的通解为 例：2.1.3 为了使 以 为周期，须满足 是以 为周期的周期函数， 是正常 设 整理得 为周期 以 （令 ） 将c 代入得 二、 Bernoulli方程 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 例1.3.5求初值问题 的解。 解：方程两边同乘以2y后得 令 代入得 通解为 将 代入得 代入初值条件得