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第四节函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义:假如函数f(x)在点x=x0处有定义，limf(x) xx0 存在，且 lim 0，那么函数 f(x) 在点 0处连续. f(x)=f(x) x=x xx0 2．.函数f(x)在点x=x0处连续一定知足下边三个条件. (1)函数f(x)在点x=x0处有定义； limf(x)存在； x0 (3)limf(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函 xx0 数值. 假如上述三个条件中有一个条件不知足，就说函数f(x)在点x0处 不连续.那依据这三个条件，我们就能够给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)， (x)(g(x)≠0)也在点x0处连续。 g(x) ②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u(x)]在点x0处连续。 4.函数f(x)在(a，b)内连续的定义： 假如函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数. f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，此刻函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在而且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)，f(x) 在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b). 5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义： 假如f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有limf(x)=f(a)， xa 在右端点x=b处有limf(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连 b 续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数. 6.最大值最小值定理 假如f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a， b］上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的 联系与差别。“连续必有极限，有极限未必连续。”二、问题议论 ●点击双基 1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条 件. A.充分不用要 C.充要  B.必需不充分 D.既不充分又 不用要 分析：f（x）在  x=x0处有定义不必定连续  . 答案：  A cosπ 2.f（x）=  x的不连续点为 π x x=0 x=2（k=0,±1,±2,） 2k 1 C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,） D.x=0和x=2 （k=0,±1,±2,） 2k 1 π 得 π π π （k∈Z）,∴x= 2 k Z 分析：由cos + . x x 2 2k1 又x=0也不是连续点,应选D 答案：D 3.以下图象表示的函数在x=x0处连续的是 yy Ox0xOx0x ①  ② y  y O x0 x Ox0 x A. ① ③ B.②③ ④ C.①④ D.③④ 答案：A 4.四个函数:①f（x）=1;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x） x =ax3+bx2+cx+d.此中在x=0处连续的函数是____________（.把你以为 正确的代号都填上） 答案：②③④ 例1：议论以下函数在给定点或区间上的连续性 1 (1)f(x) ex 1 (x 0) ，点x=0； 1 ex 1 (x 0) 1 (2)f(x) x2 2 (x 1)，点x=－1。 x 4 (x 1) 1 1 解：（1）当x→0－时，1 ex 1 ，limex 0，所以lim = －， x x 0 x0 1 1 ex 1 1 而 lim ex 1 =lim (1 2 )=1，∵limf(x) limf(x)， 1 1 x 0 ex 1 x 0 ex 1 x0 x0 ∴f(x)在x=0处极限不存在，所以f(x)在x=0处不连续。 （2）∵limf(x) lim(x2 2)3 ，lim f(x) lim(x 4) 3，f(1) 3， x 1 x1 x 1 x 1 ∴lim f(x) 3 f( 1)，所以函数f(x)在x=－1处连续。 x 1 【思想点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区 间的端点例外）。 例 2.( 优化 例 P2081) 1 (x0) 议论函数f(x)= 0 (x=0) , 在点 x 处的连续性 (1) 0 -1 (x0) (2)议论函数f(x)= x 在区间0,3 上的连续性 分析：（1）需判断lim x-3 f （ ） lim f （） （ ） . x0 x = x0 x=f 0 （2）需判断f（x）在（0,3