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一．解答题（共 30 小题） 1．已知函数f （x ）＝lnx+a x−2x （a∈R ）． （Ⅰ）当a ＝﹣2 时，求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若函数f （x ）有两个不同零点x 1，x2 （x 1＜x2 ）， （ⅰ）求实数a 的取值范围； 2 （ⅱ）求证：x 1•x22 ＞ ． 4 2 1 + 2 2 ．已知函数f （x ） = ，g （x ）＝2ax +ax+1 ． （Ⅰ）若函数f （x ）没有极值点，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若g （x ）≤f （x ）对任意的x ∈R 恒成立，求实数 k 和 a 所满足的关系式，并求实 数 k 的取值范围． 3 ．已知函数f （x ）＝（x+1 ）lnx ﹣x+1 ． 2 （Ⅰ）若xf ′（x ）≤x +ax+1 ，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：（x ﹣1）f （x ）≥0 ． 1 4 ．已知a ＞1，函数f （x ）＝ex − x2 ﹣ax ﹣1，其中e ＝2.71828…为自然对数的底数． 2 （Ⅰ）证明：函数y ＝f （x ）在（0 ，+ ∞）上有唯一零点； （Ⅱ）记x0 为函数y ＝f （x ）在（0 ，+ ∞）上的零点，证明：x0 ＜a ．（参考数值：ln4.6 ≈1.53） 1 + x− 4 3 2 5 ．已知函数f （x ）＝3 4ln ，g （x ）＝x +mx +nx +mx+10 ，m ，n∈R ． 8 （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间； 2 2 （Ⅱ）若对任意x ∈ （0 ，+ ∞），总存在x ∈R ，使得f （x ）＝g （x ），求m +n 的最小 1 2 1 2 值． 6 ．已知函数f （x ） = 2 （x ＞0 ），其中a∈R ． + （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性； 2 2 2x （Ⅱ）若e [ （x ﹣1） （x+1 ）+lnx]＜e lnx，求x 的取值范围； （Ⅲ）当a ＝3e4 时，若x 1，x2 为函数 g （x ）＝f （x ）﹣m （m∈R ）的两个零点，试证 2 4 1 + 明： ＜m （x +x ）＜
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