第六节 函数图形的描绘.pptVIP

上页 下页 铃 结束 返回 首页 * 运行时, 点击按钮“定理3”, 或“(4)判别法的推广(Th3)”, 可显示定理3的具体内容. * 运行时, 点击“斜渐近线”, 可显示斜渐近线公式, 点击“按作图步骤进行”,可显示作图步骤. 1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点,设为 (2) 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 复 习 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别: 2. 连续函数的最值 特别地，如果 f (x)在一个区间内可导且只有一个驻点x0 ? 那么当 f (x0)是极大(小)值时? f (x0) 就是 f (x)在该区间上的最大(小)值? §3.6 函数图形的描绘 用描点法作函数图形需要计算许多点, 才能画出较精确的 函数图形. 当我们对函数曲线的性态有了全面了解之后, 只需少数几个点就能画出较精确的函数图形. 上页 下页 铃 结束 返回 首页 (1) 函数的定义域、 奇偶性、周期性； (2) 函数曲线的单调性和凹凸性； 函数的一阶和二阶导数的零点和不存在的点； (3) 函数曲线的渐近性 . 决定函数图形性态的几个要点 上页 铃 结束 返回 首页 下页 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有铅直渐近线 求曲线 的渐近线 . 解: 为水平渐近线; 为铅直渐近线. 水平渐近线 垂直渐近线 (1) 确定函数的定义域 ? (2) 求函数的一阶和二阶导数 ? 及一阶、二阶导数为零的点和不存在的点 ； (3) 列表分析? 确定曲线的单调性和凹凸性 ? (4) 确定曲线的渐近性 ? (5) 确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、 与坐标轴的交点、其它点? (6) 连接这些点画出函数的图形? 描绘函数图形的一般步骤 上页 铃 结束 返回 首页 下页 例1 画出函数 y ? x3?x2?x?1的图形? f ?(x) f ??(x) f (x) ＋ ＋ － － － 0 0 － － － 0 ＋ ＋ ＋ 32/27 极大 0 极小 16/27 拐点 ↗∪ ↘∪ ↗∩ ↘∩ (4) 特殊点的函数值: f (0) ?1, f ( ?1) ? 0, f (3/2) ? 5/8. (??,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) (1? ??) 1 x 下页 令 f ?(x) ? 0 得 x ? ?1/3? 1? 令 f ??(x) ? 0得 x ? 1/3? 解 (1) 定义域：(??? ??). (2) f ?(x) ? 3x2? 2x ?1 ? (3x?1)(x?1)? (3) 曲线性态分析表? f ??(x) ? 6x ? 2 ? 2(3x?1)? 描点联线画出图形. 特殊点的函数值: f (0) ?1, f (?1) ? 0, f (3/2) ? 5/8. y ? x3 ? x2 ? x ? 1 f (x) (??,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3, 1) (1? ??) 1 32/27 极大 0 极小 16/27 拐点 ↗∪ ↘∪ ↗∩ ↘∩ x 下页 例1 画出函数 y ? x3 ? x2 ? x ? 1的图形? 解 曲线性态分析表? 解 (1) 定义域：(-?, +?)? f (x)是偶函数? 图形关于y 轴对称? 例2 令f ?(x) = 0? 得x = 0? 令f ??(x) = 0? 得 x = -1和x = 1? (3) 曲线性态分析表? 极大 拐点 (1, +?) 1 (0, 1) 0 x f ?(x) f ??(x) y?f(x)的图形 0 － － － － 0 ＋ － ↘∩ ↘∪ (4)曲线有水平渐近线 y = 0? 下页 1 y = 0是曲线的水平渐近线? 极大 拐点 (1, +?) 1 (0, 1) 0 x y?f(x)的图形 ↘∩ ↘∪ 先作出区间(0,+?)内的图形? 然后利用对称性作出区间(-?, 0)内的图形? 下页 解 函数性态分析表: 例2 例3 解