第三节 泰勒公式.pptVIP

上页 下页 铃 结束 返回 首页 * 运行时, 点击按钮“例如”, 或 “例如…“ 即可显示动画 复 习 洛必达法则 未定式的极限 1、洛必达法则是求未定式的一种有效方法? 但最好能与其它求极限的方法结合使用? 例如能化简时应尽可能先化简? 可以应用等价无穷小替代或重要极限时? 应尽可能应用? 这样可以使运算简捷? 应注意的问题 下页 求极限的几种方法 利用函数的连续性； 利用两个重要极限； (3) 等价无穷小替代； (4) 洛必达法则。 2? 本节定理给出的是求未定式的一种方法? 当定理条件满足时? 所求的极限当然存在(或为?)? 但定理条件不满足时? 所求极限却不一定不存在? 结束 应注意的问题 二、麦克劳林公式 一、泰勒公式 §3.3 泰勒公式 上页 下页 铃 结束 返回 首页 — 应用 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 一、泰勒公式 问题的提出 根据函数的微分, 有：当|x-x0|很小时，有近似公式 f (x) ? f (x0) + f ?(x0)(x-x0) P119 R(x) = f (x) – f (x0) - f ?(x0)(x-x0). 此近似公式的不足: 精确度不高, 误差难于估计. 为了达到一定的精确度要求, 可考虑 用n次多项式Pn(x)来近似表达 f (x). 下页 其误差为 设函数 f (x)在含x0的开区间内具有直到(n?1)阶导数, 我们希望找出一个关于(x?x0)的n次多项式来近似表达 f (x). 设 Pn(x) ? a0 ? a1(x?x0) ? a2(x?x0)2 ? ? ? ? ? an(x?x0)n 满足: Pn(x) 与 f (x) 的各阶导数(直到n阶导数)在x0处取值相等， 即 f (x0) ? Pn(x0), f ?(x0) = Pn?(x0), f ??(x0) ? Pn??(x0), f ???(x0) ? Pn???(x0), ? ? ? ? ? ?, f (n)(x0) ? Pn(n)(x0). 多项式Pn(x)的确定 Pn(x)?a0?a1(x?x0)? a2(x?x0)2? ? ? ? ? an (x?x0)n, Pn?(x)? a1?2a2(x?x0) ? ? ? ? ?nan (x?x0)n?1, Pn??(x)?2a2 ?3?2a3(x?x0) ? ? ? ? ?n(n?1)an (x?x0)n?2, Pn???(x)?3!a3?4?3?2a4(x?x0) ? ? ? ? ? n(n?1)(n?2)an (x?x0)n?3, Pn(n)(x) ? n!an. 多项式系数的确定 ? a0, a0 ? f (x0), = a1, a1 = f ?(x0), ? 2!a2, ? 3!a3, ? ? ? ? ? ?, f (x0) ? Pn(x0) f ?(x0) = Pn?(x0) f ??(x0) ? Pn??(x0) f ???(x0) ? Pn???(x0) f (n)(x0) ? Pn(n)(x0) ? n!an. ? ? ? ? ? ?, 下页 Pn(x) ? a0 ? a1(x?x0) ? a2(x?x0)2 ? ? ? ? ? an(x?x0)n Pn(x) ? a0 ? a1(x?x0) ? a2(x?x0)2? ? ? ? ? an(x?x0)n 于是所求多项式为 ? f (x0)? f ?(x0)(x?x0) (x?x0)2 ?? ? ? (x?x0) n ? 下页 多项式系数的确定 Pn(x)近似表达 f (x). 满足: Pn(x) 与 f (x) 的直到n阶导数在x0处取值相等， 泰勒中值定理 如果函数 f (x)在含有x0的某个开区间(a? b)内具有直到 (n?1) 阶的导数? 则对任一 x ? (a, b)? 有 下页 其中 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日（Language）余项 . ① ② 公式 ① 称为 按