八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题.docx

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 文：付雨楼、段永建 文：付雨楼、段永建 今天给大家带来 8 个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研 QQ 群(群号：545423319) 成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） PcAa P c A a b C B P c C b A a B P c C b A a B P O2 c B b a C A 图1 图2 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2 图3 ? a2 ? b2 ? c2 ，即2R ? 图4 a2 ? a2 ? b2 ? c2 3例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为16 ，则这个球的表面积是（ C ） A．16? B． 20? C． 24? D． 32? 3 若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 9? 解：（1）V ? a 2 h ? 16 ， a ? 2 ， 4R2 ? a2 ? a2 ? h2 ? 4 ? 4 ? 16 ? 24 ， S ? 24? ，选 C； （2） 4R2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 9 ， S ? 4?R2 ? 9? 3在正三棱锥S ? ABC 中， M、N 分别是棱SC、BC 的中点，且 AM ? MN ,若侧棱SA ? 2 ,则正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积是 。36? 3 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： SADSBHE(3)题-1MCN如图（3）-1，取 AB, BC 的中点 D, E ，连接 AE, CD ， AE, CD 交于 H ，连接SH ，则H 是底面正三角形 ABC 的中心，? SH S A D S B H E (3)题-1 M C N ? AC ? BC ， AD ? BD ，? CD ? AB ，? AB ? 平面 SCD ， ? AB ? SC ，同理： BC ? SA ， AC ? SB ，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， ? AM ? MN ， SB // MN ， ? AM ? SB ，? AC ? SB ，? SB ? 平面 SAC ， C ? SB ? SA ， SB ? SC ，? SB ? SA ， BC ? SA ， ? SA ? 平面 SBC ，? SA ? SC ， 1 A B (3)题-2 故三棱锥 S ? ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直， ? (2R)2 ? (2 3)2 ? (2 3)2 ? (2 3)2 ? 36 ，即4R2 ? 36 ， ?正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积是36? 在四面体 S ? ABC 中， SA ? 平面ABC ， ?BAC ? 120? , SA ? AC ? 2, AB ? 1, 则该四面体的外接球的表面积为（ D ） A.11? B.7? C.10 ? D. 40 ? 3 3 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6 、4 、3 ，那么它的外接球的表面积是 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a, b, c （ a, b, c ? R? ），则 ?ab ? 12 ? ?bc ? 8 ，? abc ? 24 ，? a ? 3 ， b ? 4 ， c ? 2 ， (2R)2 ??ac ? 6 ? ? a2 ? b2 ? c2 ? 29 ， S ? 4?R2 ? 29? ， （6） (2R)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 3 ， R 2 ? 3 ， R ? 3A4 2 3 A 4 4 3 3 3P 4 4 3 3 3 V ? ?R3 ? ? ? ? ? ， 3 3 8 2 C B 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） POCAO1 BD题设：如图 P O C A O1 B D 第一步：将?ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径 AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心O ； 第二步： O 1 为?ABC 的外心，所以OO 1 ? 平面 ABC ，算出小圆O 的半 1 解析： 解析：（4）在?ABC 中， BC 2 ? AC 2 ? AB2 ? 2 AB ? BC ? cos120? ? 7 ， BC ? 7 ， ?ABC 的外接球直径为2r ? BC sin ?BAC ? 7 2 7 3 2 ? 3 ， ? (2R)2 ? (2r)2 ? SA2 ? ( 2 7 )2 ? 4 ? 40 ， S ? 40? ，选 D 3 3 3 2 图5 PAGE