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数论教案 §1 整数的整除 带余除法 1 整数的整除 设 a,b 是整数,且 b≠0,如果有整数 q,使得 a=bq,则称 b 整除 a,记为 b|a,也称 b 是 a 的因数,a 是 b 的倍数. 如果没有整数 q,使得 a=bq,则称 b 不能整除 a,记为 b∤ a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2∤ 3 ， -3∤ 22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否 b|a？当 a,b 的数值较大时,可借助计算器判别. 如果 b 除 a 的商数是整数,说明 b|a;如果 b 除 a 的商不是整数,说明 b∤ a. 例 1 判断下列各题是否 b|a？ (1) 7|127? (2) 11|129? (3) 46|9529? (4) 29|5939? 整除的简单性质 (1)如果 c|b,b|a,那么 c|a; (2)如果 d|a,d|b,那么对任意整数 m,n,都有 d|ma+nb. a , a ,L , a q , q ,L , q (3)如果 1 2 n 都是 m 的倍数, 1 2 n 是任意整数,那么 q a  q a L  q a 1 1 2 2 n n 是 m 的倍数. (4)如果 c|a,d|b,那么 cd|ab。 例如： 2|4,2|(-6),那么 2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么 2 ×3|4 ×(-6). 例 2 证明任意 2 个连续整数的乘积,一定可被 2 整除. 练习 证明任意 3 个连续整数的乘积,一定可被 3 整除. 1 2.带余除法 设 a,b 是整数,且 b0,那么有唯一一对整数 q,r 使得 a=bq+r,0 ≤r ＜ b. (1) 这里 q 称为 b 除 a 的商,r 称为 b 除 a 的余数. 例如-5=3 ×(-2)+1 5=3 ×1+2 -5=(-3) ×2+1 5=(-3) ×(-1)+2 15=(-5)×(-3), -24=(-2) ×12. 事实上,以 b 除 a 的余数也可以是负的.例如 -5=3 ×(-1)-2=3×(-2)+1. 求 b 除 a 的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行. 具体操作:输入 a-按 mod(取余)键-输入 b-按=键得出余数.如果 b 除 a 的余数=0,则 b|a;如果 b 除 a 的余数≠0,则 b∤ a. 例 3 利用计算器求余数: (1) 7 除 127;(2)11 除-129 ;(3)46 除-9529;(4)-29 除 5939 奇数、偶数及性质 能被 2 整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8 都是偶数. 不能被 2 整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11 都是奇数. 偶数的形式为 2n(n 是整数);奇数的形式为 2n-1(n 是整数). 奇数、偶数的性质: 偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数, 偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数. 例如 2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5 设 a,b 是任意两个整数,则 a+b 与 a-b 同奇同偶. 例如 3+5,3-5,6+3,6-3, 2 2 a b  2n 例 4 设 a,b,n 是任意 3 个整数,而且 ,证明 n 是偶数. 2 a2  1 例 5 设 a 是任一奇数,试证明 8| . 例 6 设 n