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初等数论习题 v2 《初等数论》习题集 1. 证明：若 m - p ∣mn + pq ，则 m - p ∣mq + np 。 2. 证明：任意给定的连续 39 个自然数，其中至少存在一个自然数， 使得 这个自然数的数字和能被 11 整除。 3. 设 p 是 n 的最小素约数，n = pn 1 ，n 1 1 ，证明：若p 3n ， 则 n 1 是 素数。 4. 证明：存在无穷多个自然数 n ，使得n 不能表示为 a 2 + p （a 0 是整 数，p 为素数）的形式。 5. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ， n ∈Z 。 6. 设 3∣a 2 + b 2 ，证明：3∣a 且3∣b 。 7. 设 n ，k 是正整数，证明：n k 与 n k + 4 的个位数字相同。 8. 证明：对于任何整数 n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2 不可能成立。 9. 设 a 是自然数，问 a 4 - 3a 2 + 9 是素数还是合数？ 10. 证明：对于任意给定的 n 个整数，必可以从中找出若干个作和， 使得 这个和能被 n 整除。 11. 设 x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明： 17∣9x + 5y 。 12. 设 a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。 13. 设 n 是正整数，求 1 223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。 14. 设 a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 15. 求正整数 a ，b ，使得a + b = 120 ，(a , b ) = 24 ，[a , b ] = 144。 16. 设 a ，b ，c 是正整数，证明： ) ,)(,)(,() ,,(] ,][,][,[] ,,[2 2 a c c b b a c b a a c c b b a c b a = 。 17. 设 k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。 18. 用辗转相除法求整数 x ，y ，使得 1387x - 162y = (1387, 162)。 19. 计算：(27090, 21672, 11352)。 20. 使用引理 1 中的记号，证明：(F n + 1, F n ) = 1。 21. 若四个整数 2836 ，4582 ，5164 ，6522 被同一个大于 1 的整 数除所得的 余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？ 22. 记 M n = 2n - 1 ，证明：对于正整数a ，b ，有(M a , M b ) = M (a , b )。 23. 写出的标准分解式。 24. 证明：在 1, 2, , 2n 中任取 n 1 数，其中至少有一个能被另一 个整 除。 25. 证明：n 1211+ ++ （n ≥ 2）不是整数。 26. 设 a ，b 是正整数，证明：存在 a 1 ，a 2 ，b 1 ，b 2 ，使得 a = a 1a 2 ，b = b 1b 2 ， (a 2, b 2) = 1 ，并且[a , b ] = a 2b 2。 27. 求使 12347!被 35k 整除的最大的 k 值。 28. 设 n 是正整数，x 是实数，证明：∑∞ =-+11 ][ 2 2r r r n = n 。 29. 设 n 是正整数，求方程 x 2 - [x 2] = (x - [x ])2 在[1, n ]中的 解的个数。 30