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图形的折叠问题专题复习学案 主 讲： （韶关市第四中学） 谢 迎 香 2017 年 4 月 26 日 【教学目标】 1、掌握图形折叠的本质是轴对称变换，折叠前后重叠的两个部分全等，会找折叠问题中对应元素（角、线段或面）之间的关系； 2、能综合利用轴对称性质、四边形性质、勾股定理等知识进行计算、推理、证明。 3、经历折叠三角形、四边形的过程，发展学生空间想象能力；通过寻找、分解基本图形，构建图形特征，培养学生的分析能力、综合能力；通过对题型的变式练习，举一反三， 教会学生类比、归纳、数学研究方法。 4、让学生在分析探究类比中，实现知识迁移，思维拓展，提高应变能力和勇于攻克难题的毅力，体验数学学习的乐趣。 【教学重点】 综合运用相关知识计算有关角的度数、线段的长度，以及证明图形相似、全等。 【教学难点】 找折叠问题中对应元素（角、线段或面）之间的关系，抓住折叠变换过程中的不变量， 综合分析。 【教学关键】 引导学生利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用勾股定理、三角形全等、相似及方程等建立有关角、线段之间的联系。 【教学方法】 演示，类比，引导发现法，分析、综合。 【教学概论】 1、折叠问题，本质上就是图形的轴对称变换 2、基本图形：三角形、四边形（矩形、正方形）等 3、考点：（1）折叠变换中的角；（2）折叠变换中的线段；（3）折叠变换中的面。 【教学内容与过程设计】 环节一：回顾知识，引入课题 我们已学过的图形变换方式有哪些？ 轴对称有哪些性质？ 环节二：探究以三角形为基本图形的折叠问题 例 1、如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，△ABD 沿 AD 折叠，使得点 B 落在斜边AC 上的点B’处．请你回答下列问题： △ABD≌△AB’D 吗？为什么？ AB=AB’吗？你还能找到哪些相等的线段？ ∠BAD = ∠B’AD 吗？ △ABC 与△DB’C 相似吗？为什么？ 在 Rt△ABC 中，若∠C＝30°，AB＝3，则∠BAC 度数是多少？AC 多长？ 在 Rt△ABC 中，若AB＝3，BC＝4，怎样求边AC 长？能求出BD 长吗？ 【方法点拨】 图形折叠 全等 相等的边或角。 练习 1、如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB=7， BC=6，则△BCD 的周长为 2、如图，已知 D 为△ABC 的边 AB 的中点，E 在边 AC 上， 将△ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 边的F 处．若∠B=65°， 则∠BDF 等于 （ ） A．65° B．50° C．60° D．57．5° 环节三：探究以四边形为基本图形的折叠问题 例 2 、如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线AC 折叠，使点 B 落在点E 处，请解答下列问题： 图中有哪些全等的三角形？请选出一组证明出来。 试判断△ACF 的形状，并说明理由。 试判断EF 与 DF 的大小关系，并说明理由。 3、 3、如图，把平行四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，这时点D 落在D ，折痕为 1 EF，若∠BAE=55°，求∠D AD 的度数. 1 请你完成以下求解过程: 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD=∠ ∵四边形AD1FE 是由四边形CDFE 折叠得到的， ∴∠C=∠ ∴∠ ∴∠ = ∠ -∠EAF = ∠ -∠EAF, 即 ∠BAE = ∠D AD 1 ∵∠BAE=55°， ∴∠D AD = 1 ． 4、如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将△ADE 沿 AE 对折至 △AFE，延 长交 BC 于点 G，连接 AG. （ （1）求EF 的长. (2)求证：△ABG≌△AFG； (3) (3)求 BG 的长. 环节四：课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 课外变式延伸 △ADE 沿 AE 对折至△AFE，延长 EF 交边BC 于点G，连接 AG、CF．下列结论： ①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；1、（2015 江苏泰州）如图， 矩形 中，AB=8，BC=6，P 为 AD 上一点， 将△ABP 沿 BP 翻折至△EBP △ADE 沿 AE 对折至△AFE，延长 EF 交边BC 于点G，连接 AG、CF．下 列结论： ①△ABG≌△AFG； ②BG=GC； ③AG∥CF； 2. 2. 如图，正方形 ABCD 中，AB=6，点 E 在边CD 上，且 CD=3DE．将 A.1 B.2 C.3 D.4 ④S =3．其中正确结论的个数是(△FGC)3、如图，Rt△ABC 中，BC=AC=2，D 是斜边 AB ④S =3．其中正确结论的个数是( △FGC ) △ACD 沿直线 CD 折叠，点 A 落在同一平面内的 A′处，当 A′D 平行于Rt△ABC