线性代数教案设计全(同济大学第六版).docxVIP

1 线性代数教案 第(1)次课 授课时间( 教学章节 第一章第一、二、三节 学时 2学时 教材和 参考书 1. 《线性代数》(第6版)同济大学编 1.教学目的：熟练掌握2阶，3阶行列式的计算； 掌握逆序数的定义，并会计算； 掌握n阶行列式的定义； 2.教学重点：逆序数的计算； 3.教学难点：逆序数的计算. 1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；n阶行列式的定义 2.时间安排：2学时； 3.教学方法：讲授与讨论相结合； 4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示. 2 基本内容 备注 第一节二 、 三阶行列式的定义 一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。 设二元线性方程组 用消元法，当a?a?-a?a? ≠0时，解得 ,称为二阶行列式，则 如果将D中第一列的元素a,a?换成常数项b,b?,则可得到 另一个行列式，用字母D表示，于是有 按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：ba?-b?a?,这就是公 式(2)中x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素ai2,a2换 成常数项b,b?,可得到另一个行列式，用字母D,表示，于是有 按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a?b?-a??b?,这就是公 式(2)中x? 的表达式的分子。 于是二元方程组的解的公式又可写为 3 其中D≠0 例1.解线性方程组 同样，在解三元一次方程组 时，要用到 “三阶行列式”,这里可采用如下的定义. 二、三阶行列式的定义 设三元线性方程组 用消元法解得 定义设有9个数排成3行3列的数表 a a?? a?1 a1? a?2 a?2 a?? Q?3 a?3 记 称为三阶行列式，则 a a 三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆： 从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个 元素取负号，即 主对角线 方向av 主对 角线 方向 av a. a. a. a. . D= a a. 次对角线方向 例2.计算三阶行列式 . (-14) 例3.求解方程 (x=2或x=3) 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式 再计算D,D?,D? 5 , 得 第二节排列与逆序 引例：用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复的三位 数 ? 一、全排列 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(简称 排 列 ) . 可将n个不同元素按1~n进行编号，则n个不同元素的全排列 可看成这n个自然数的全排列. n个不同元素的全排列共有n!种. 二、逆序及逆序数 逆序的定义：取一个排列为标准排列，其它排列中某两个元素 的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称有一个逆序. 通常取从小到大的排列为标准排列，即1~n的全排列中取 123… (n-1)n为标准排列. 逆序数的定义： 一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列 的逆序数. 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为 奇排列，标准排列规定为偶排列. 6 例1:讨论1,2,3的全排列. 全排列 123 231 312 132 213 321 逆序数 0 2 2 1 1 3 奇偶性 偶 奇 逆序数的计算：设D?P? …p, 为123…(n- 1)n 的一个全排列，则其 逆序数为 t=t?+t?+…+ta= ∑. 其中i, 为排在p, 前，且比p, 大的数的个数. 例2:求排列54321的逆序数. (对于逆序数的计算介绍另一种算法) 对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动， 这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换. 例：q…a,abb…b--q…a, bab…b. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶 性 . 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证 明 : 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立 7 第 三 节 n 阶 行 列 式 的 定 义 下面可用全排列的方式改写二阶，三阶行列式. 二阶行列式 其中：①DP?是1,2的全排列，②t是p?P? 的逆序数，③ ∑ 是对 所有1,2的全排列求和. 三阶行列式 -a?a??a??-a?a??a??-a?a??a?? 其中：①p?P2P?是1,2,3的全排列，②t是P?P?P? 的逆序数，③ ∑是 对所有1,2,3的全排列求和. 其中：① P?P?…p,是1,2, …,n的全排列，②t是p?P?…p,的逆序 数，定理2 :n阶行列式为： 8 其中t为D?P?… p,的逆序数. (以4阶行列式为例，对证明过程作以说明) (补充)定理3 n阶行列式也可