文件(完整word版)高中数学立体几何讲义(二)c.docxVIP

PAGE PAGE 10 空间中的垂直关系 Ⅰ、直线与平面垂直 1、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直 其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α。 2、直线与平面垂直的判定方法：①利用定义。②判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 ③其它方法： （Ⅰ）、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。 （Ⅱ）、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个面。 （Ⅲ）、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。 （Ⅳ）、如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个方面。 3、直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 POA P O A ? a 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂 直关系； PO ? ?, O ??? ?PA I ? ? A ? ? a ? PA ? ?a ? ?, a ? OA ? ? 5、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的投影垂直。 PO ? ?, O ??? ?PA I ? ? A ? ? a ? AO ? ?a ? ?, a ? AP ? ? ． 练习： 若a, b, c 表示直线，? 表示平面，下列条件中，能使a ? ? 的是 （ D ） ( A) a ? b, a ? c, b ? ?, c ? ? (B) a ? b, b // ? ) a I b ? A, b ? ? , a ? b (D) a // b, b ? ? 已知l 与 m 是两条不同的直线，若直线 l ? 平面? ，①若直线 m ? l ，则 m // ? ；②若 m ? ? ，则 m // l ；③若 m ? ? ，则 m ? l ；④ m // l ，则 m ? ? 。上述判断正确的是 （ B ） ( A) ①②③ (B) ②③④ (C ) ①③④ (D) ②④ 设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H ，给出以下命题： ①若 PA ? BC ， PB ? AC ，则 H 是?ABC 的垂心 ②若 PA, PB, PC 两两互相垂直，则H 是?ABC 的垂心 ③若?ABC ? 90o， H 是 AC 的中点，则 PA ? PB ? PC ④若 PA ? PB ? PC ，则 H 是?ABC 的外心其中正确命题的命题是 ①②③④ 例 1、 已知PA⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作 AE⊥PC 于点 E，求证：AE⊥平面PBC。 EO证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC⊥AC。 E O 而 PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC。又∵AE 在平面PAC 内，∴BC⊥AE。 ∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC。 A B C [反思归纳]证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义； 利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α”。 例 2、在直三棱柱ABC—A B C 中，B C =A C ，A B⊥AC ，求证：A B⊥B C。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 证明：取A B 的中点D ，连结C D 。∵B C =A C ，∴C D ⊥ABB A 。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 连结 AD ，则AD 是 AC 在平面ABB A 内的射影，∵A B⊥AC ， B CDC1 C D C 1 1 1 A ∴A B⊥AD 。取 AB 的中点D，连结CD、B D， 1 1 1 则 B D∥AD ，且B D 是 B C 在平面ABB A 内的射影。 1 1 1 1 1 1 ∵B D⊥A B，∴A B⊥B C。  A D B 11 1 1 1 1 1 1 [反思归纳]证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理。 例 3．四面体 ABCD 中， AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点，且 EF ? AC ， 22 2 ?BDC ? 90o ，求证： BD ? 平面 ACD 证明：取CD 的中点G ，连结 EG, FG ，∵ E, F 分别为 AD, BC 的中点， ∴ EG ?// 1 AC 2 FG?// 1 BD ，又 AC ? BD, ∴ FG ? 2 1 AC ，