高中数学第4章点数统计案例4.3列联表独立性分析案例讲义含解析湘教选修1_2.pdfVIP

4．3列联表独立性分析案例 [读教材·填要点] 1．列联表 一般地，对于两个因素X和Y ，X的两个水平取值：A和 (如吸烟和不吸烟) ，Y也有两个水平取值：B和 (如患肺癌和不患肺癌) ，我们得到下表中的抽样数据，这个表格称为2×2列联表. Y B 总计 X 　 A a b a ＋b c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d n 其中n ＝a ＋b ＋c ＋d. 2 ．独立性分析 事件A与B独立，这时应该有P(AB) ＝P(A)P(B)成立．我们用字母H 来表示上式，即H ：P(AB) ＝ 0 0 P(A) ·P(B) ，称之为统计假设．我们引入统计中一个非常有用的χ2统计量，它的表达式是χ2 ＝ . 2 用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0.如果算出的χ 值较大，就拒绝H0 ，也就是拒绝“事件A 与B无关” ，从而就认为它们是有关的了． [小问题·大思维] 1．利用χ2进行独立性分析，估计值的准确度与样本容量有关吗？ 提示：利用χ2进行独立性分析，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越准 确．如果抽取的样本容量很小，那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性． 2 ．在χ2运算后，得到χ2的值为29.78 ，在判断因素相关时，P(χ2≥6.635)≈0.01和P(χ2≥7.88)≈0.005 ，哪种说 法是正确的？ 提示：两种说法均正确．P(χ2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两因素相 关；而P(χ2≥7.88)≈0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两因素相关． 独立性分析的原理 某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现 场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为质量监督 员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系？ [自主解答]　根据题目所给数据得如下2×2列联表： 合格品 次品 总计 甲在生产现场 982 8 990 甲不在生产现场 493 17 510 总计 1 475 25 1 500 由列联表中的数据，得 2 χ ＝ ≈13.097 ＞10.828. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系． 1．解决一般的独立性分析问题，首先由所给2×2列联表确定a ，b ，c ，d ，n的值，然后代入随机变量的计 算公式求出观测值χ2 ，将χ2与临界值x 进行对比，确定有多大的把握认为两个分类变量有关系． 0 2 ．反证法原理与独立性检验原理的比较 反证法原理——在假设H 下，如果推出一个矛盾，就证明了H 不成立． 0 0 独立性检验原理——在假设H 下，如果出现一个与H 相矛盾的小概率事件，就推断H 不成立，且该推 0 0 0 断犯错误的概率不