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二项式定理类型及思考方法 PAGE 1 PAGE 1 二项式定理类型及思考方法 二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容，高考在这一部分命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题.复习时先要正确的理解二项式定理、二项展开式的项、系数等概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键，同时注意把握二项式与定积分及其它知识的联系 一 知识点精讲 1二项式定理：. 展开式具有以下特点： 项数：共有项； 二项式系数：依次为组合数 二项式系数和： 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开. 2 二项展开式的通项. 展开式中的第项为：. 3二项式系数的性质. （1）在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； （2）二项展开式的中间项二项式系数最大. 当是偶数时，中间项是第项，它的二项式系数最大； 当是奇数时，中间项为两项，即第项和第项， 它们的二项式系数最大. （3）区别展开式二项式系数和与各项的系数和，二项式系数和与求各项系数和令 例如： 二项式系数分别为：， 二项式系数和为 各项系数分别为： 令可得各项系数和为 （4）求为常数）在求系数最大的项或最小的项问题 当时，解不等式组的系数或系数的绝对值）的办法来求解. = 4 \* GB2 ⑷如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为. 二 典例解析 题型一： 二项展开式和各项系数和，二项式系数和 例1 （新课标理）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A -40 B -20 C 20 D 40 解 令，得， 常数项为 例2 （太原二模题） 设的展开式和各项系数之和为，二项式系数之和为。若，则展开式中的常数项为 解: 由,可得，展开式中的常数项为 例3 (北京理)若展开式的各项系数之和为32，则_______， 其展开式中的常数项为_________．（用数字作答） 解： 显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C＝10. 例4（江西理）展开式中不含的项的系数绝对值的和为，不含的项的系数绝对值的和为，则的值可能为 A． B． C． D． 解:，，则可取，选D 题型二 展开式通项公式的应用 通某一项，常数项等 例5. (江西理)已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则等于 A．4 B．5 C．6 D．7 选C 例6（湖北理）如的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（　　） Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 解：由展开式通项有 由题意得，故当时，正整数的最小值为5，故选Ｂ 易错点：将通项公式中误记为，以及忽略为整数的条件。 例7 (安徽理) 若(2x3+)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于 . 解; 若的展开式中含有常数项，为常数项， 即=0，当时成立，最小的正整数n等于 例8（天津理）（5）在的二项展开式中，的系数为 A10 　 Ｂ -10　　 　Ｃ 40　　 　Ｄ -40 解 ∵=，∴，即，∴的系数为. 例9（陕西理）12. 展开式中的系数为10， 则实数的值为 ． 解 ∵，令，则， 又∵的系数为10，则，∴ 例10（湖南理）( -)6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 解：( -)6的展开式项公式是. 由题意知，所以二项展开式中的常数项为. 题型三 赋值计算某一项的系数 例11 求：（1） （2） （3） （4） 解：（1）令得 （2）令，， （3）令， （1） 令， （2） 得 得 二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效经典方法，一般对任意，某式子恒成立，则对中的特殊值，该式子一定成立，特a殊值如何选取视具体情况决定，灵活性较强，一般取. 下面是重要结论 若则设.有： ① ② ③ ④ ⑤ 例12．若(1