高中物理竞赛话题18关联速度问题.docxVIP

PAGE PAGE 10 话题 18：关联速度问题 一、刚体的力学性质: 讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的． C?B?B如图所示，三角板从位置 ABC 移动到位置 A?B?C? ，可以认为整个板一方面做平动， 使板上点 B 移到点 B? ，另一方面又以点 B? 为轴转动，使点 A 到达点 A? 、点C 到达点C? ．由于前述刚体的力学性质所致，点 A C? B? B 点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就 会改变．这里，我们称点 B? 为基点．分析刚体的 A A? 运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体 运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基 C 点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速 度的矢量和．我们知道转动速度v ? r? ， r 是转动半径， ? 是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关． 根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）． 结论一、 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度． 再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论． 结论二、 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同． 相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线a 、b ，如图所示，设直 线 a 不动，当直线 b 沿自身方向移动时，交点 P 并不移动，而当直线 b 沿直线 a 的方向移 动时，交点 P 便沿直线 a 移动，因交点 P 亦是直线b 上一点，故与直线 b 具有相同的沿直线 a 方向的平移速度．同理，若直线 b 固定，直线 a 移动，交 点 P 的移动速度与直线 a 沿直线b 方向平动的速度相同．根据 运动合成原理，当两直线 a 、b 各自运动，交点 P 的运动分别 P 是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下 a b 面的结论． 结论三、线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和． 二、相关的速度 所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系． (一)、当绳（杆）端在做既不沿绳（杆）方向，又不垂直于绳（杆）方向的运动时，一般 要将绳（杆）端的运动分解为沿绳（杆）方向和垂直于绳（杆）方向二个分运动。 1、如图所示的情况，绳 AB 拉着物体 m 在水平面上运动， A 端以速度v 做匀速运动，问m 做什么运动？ vvvBv??Bm有的同学会将绳的速度 v 分解成竖直分速度 v v v B v ? ? B m 速度v cos? ，以为木块的速度u ? v cos? (u ? v) ．这是错误的。 B 因为实际上木块并没有一个向上的分速度。应该将绳端 实际上的 水平速度 v B 分解成沿绳方向的分速 v ? vB cos? 和垂直于绳的分 速 v ? v sin? ， v 使绳子缩短， 所以 v ? v ， v 使绳子围绕滑轮转动。 因此 ? B ? v v ? (v B cos? B ? v) ，而且v B 随着? 的增大而越来越大。 A?B2 、如图所示，杆 AB 沿滑下， A 、 B 二端的速度v 和 A ? B A B 关的速度。 将v 分解成沿杆方向的分速v 和垂直于杆的分速v , A A1 A2 将v 分解成沿杆方向的分速v 和垂直于杆的分速v . B B1 B 2 由于杆的长度不会发生变化，所以 v v ? v ， A1 B1  B 2v B 2 v B1 即v cos? ? v A B sin ? ，即 A1 A2 B v ? v tan??v A B A B PA?O3 、如图所示，半径为 R 的半圆凸轮以等速 P A ? O 0 向右运动，带动从动杆AB 沿竖直方向上升，O 为凸轮圆心， P 为其顶点．求当?AOP ? ? 时， AB 杆的速 度． v 0 分析与解 这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆 与凸轮在 A 点接触，杆上