高中数学平面向量专题复习.docxVIP

PAGE PAGE 1 平面向量专题复习 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如： 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的； u ur 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； u ur ?ABu ur )； ? AB | AB | 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作： a ∥ b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； r ③平行向量无传递性！（因为有0 )； u ur u ur ④三点 A、B、C 共线? AB、AC 共线； 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－ a 。如 r r r r 例 1：（1）若 a ? b ，则a ? b 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 u ur u ur u ur u ur r r r r AB ? DC ，则 ABCD 是平行四边形。（4）若 ABCD 是平行四边形，则 AB ? DC 。（5）若a ? b,b ? c ，则 r r r r r r r r a ? c 。（6）若a // b,b // c ，则a // c 。其中正确的是 二、向量的表示 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等； 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底， 则平面内的任一向量a r 可表示为a ? r xi ? yr ? ?x, y ? ?x, y?  为向量a  的坐标，a ＝?x, y?  叫做向量a 的 j，称坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 j ，称 三．平面向量的基本定理：如果e 和 e 1 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a， 有且只有一对实数 ? 、 ? r r 1 2r ，使a= ? e ＋ ? e 。如 1 1 r 2 2 例 2（1）若a ? (1,1),b ? (1,?1),c ? (?1,2) ，则c ? 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 ur ur ur ur A. e 1 ? (0,0), e 2 ? (1,?2) B. e 1 ? (?1,2), e 2 ? (5,7) ur ur C. D. ur ur 1 3 e ? (3,5), e 1 2 ? (6,10) e ? (2, ?3),e 1 2 ? ( , ? ) 2 4 r r u ur, u ur ? BC, AC u ur ? r, u ur ? r uuru a, b s AC已知 AD BE 分别是 ABC 的边 s AC 上的中线,且 AD a BE b ,则 BC 可用向量 表示为 CDDBCDr AB（4）已知?ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 ??? ? 2 ???， ??? ? CD DB CD r AB ???? ??? ，则r ? s 的值是 四．实数与向量的积：实数 ? 与向量 a 的积是一个向量，记作 ? a ，它的长度和方向规定如下： a?1? ? r a r ? ? a , ?2?当? 0 时，? a  的方向与a 的方向相同，当? 0 时，? a  的方向与a  的方向相反， r r 当? ＝0 时， ? a ? 0 ，注意： ? a ≠0。 五．平面向量的数量积： u ur r u ur r 两个向量的夹角：对于非零向量a ， b ，作OA ? a, OB ? b ， ?AOB ? ? ?0 ?? ? ? ?称为向量a ， b 的夹角，当? ＝0 时， a ， b 同向，当? ＝? 时， a ， b 反向，当? ＝ ? 时， 2 a ， b 垂直。 r r 平面向量的数量积：如果两个非零向量a ， b ，它们的夹角为? ，我们把数量| a || b | cos? 叫做a r r 与b 的数