已知正方形ABCD和正方形CEFG共顶点于C．M是BG的中点．求证：CM⊥DE．题目和参考答案.pdfVIP

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2023-09-18 发布于河南
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已知正方形ABCD和正方形CEFG共顶点于C．M是BG的中点．求证：CM⊥DE．题目和参考答案.pdf

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11．已知正方形ABCD 和正方形 CEFG 共顶点于 C．M 是 BG 的中点．求证： CM⊥DE．分析如图，延长 BC 到 P ，使得CP=BC ，连接PG ，延长PG 交 CD 于点 O ，交DE 于点 N ．首先证明△PCG≌△DCE，∠P=∠CDE，推出 PN⊥DE，再证明 CM∥PN 即可证明．解答解：如图，延长 BC 到 P ，使得CP=BC ，连接PG ，延长PG 交 CD 于点 O ，交DE 于点 N ． ∵四边形 ABCD ，四边形EFGC 都是正方形， ∴∠ECG=∠BCD=∠DCP=90°，BC=CD=CP ，EC=CG ，在△GCP 和△ECD 中， {∠PCG=∠DCE}{∠PCG=∠DCE} d{array} ight.$ ， ∴△PCG≌△DCE， ∴∠P=∠CDE， ∵∠P+∠POC=90°，∠POC=∠DON， ∴∠CDE+∠DON=90°， ∴∠DNO=90°，∴DE⊥PN， ∵BM=MG，BC=CP ， ∴CM∥PN， ∴DE⊥CM．点评本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．同时考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，解题的关键是 PN⊥BD 的证明，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．