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* * 二、基本积分表 凑微分 换元 计算积分 变量还原 三、第一类换元积分法 例 例 分部积分过程 分部积分公式 四、分部积分法 可用分部积分法的积分小结 (1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积: (2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积: (3)被积函数为指数函数与三角函数的积: （先积三角函数 或指数函数） （先积幂函数） （此时，一般要用到 循环积分法） 一、定积分的定义 在小区间[xi?1, xi]上任取一点xi (i?1, 2,???, n), 作和 ??max{Dx1, Dx2,???,Dxn}; 记Dxi=xi-xi?1 (i?1, 2,???, n), a?x0x1x2 ??? xn?1xn?b; 在区间[a, b]内插入分点: 设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 如果当??0时, 和式的极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和xi的取法无关, 称此极限为函数f(x)在区间[a, b] 上的定积分, 记为 即 第五章 定积分 一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线y?f(x)及直线x?a、x?b之间的各部分面积的代数和. 二、定积分的几何意义 当f(x)?0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线y?f(x)、直线x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)?0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值. 三、积分上限的函数及其导数 积分上限的函数 定理1(积分上限函数的导数) 在[a? b]上可导? 并且 设函数f(x)在区间[a, b]上连续, x?[a, b], 我们称 为积分上限函数. 或 相关公式 牛顿??莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积 函数的原函数或不定积分之间的联系. 定理(牛顿??莱布尼茨公式) 若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则 五、牛顿??莱布尼茨公式 六、定积分的换元法 假设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 函数x??(t)满足条件: (1)?(a)?a, ?(?)?b; (2)?(t)在[?, ?](或[?, ?])上具有连续导数, 且其值 域不越出[a, b], 则有 定理 ——换元公式. 注意：1.一定要上限对应上限，下限对应下限； 2.不必变量还原. 七、定积分的分部积分法 定积分的分部积分法 通过微元把定积分的定义的作法简化为两步： ① 在 中的任一小区间 上以均匀变化 近似代替非均匀变化，列出所求量的微元： ② 对上式积分，即得所求量 的定积分表达式： a b x y o 第六章 定积分的应用 [f上(x)? f下(x)]dx, 一、平面图形的面积 设平面图形由上下两条曲线y?f上(x)与y?f下(x)及左右两条直线x?a与x?b所围成. 因此平面图形的面积为 在点x处面积元素为 5 设平面图形由左右两条曲线x?j左(y)与x?j右(y)及上下两条直线y?d与y?c所围成. 面积为 面积元素为 [j右(y)?j左(y)]dy, 6 求平面图形面积的步骤： (1) 画图； 确定在x轴上或y轴上的 投影区间； (3) 确定上下曲线或左右曲线； (4) 计算积分. 例3???求曲线 解 取 为积分变量,于是 与半圆 图形的面积A. 所围 如图，求出两曲线交点 的坐标A(1,1),B(1, －1), 旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积?[f(x)]2dx作为切片体积的近似值, 旋转体的体积 于是体积元素为 dV??[f(x)]2dx. 二、体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 旋转体的体积 二、体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 旋转体的体积 三、平面曲线的弧长 设曲线弧由直角坐标方程 y?f(x) (a?x?b) 给