中考数学专题圆的切线精华习题.docxVIP

学习 好资料 学习 好资料 更多精品文档 更多精品文档 中考数学专题圆的位置关系 第一部分 真题精讲 【例 1】已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过 AC 的中点 D，DE⊥BC 于点 E．（1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若 DE=2，tanC= 1 ，求⊙O 的直径． 2 D D A C O B E 【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发 的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC 中OD 就是中位线，平行于 BC。所以利用垂直传递关系可证 OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90° 这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC 是等腰三角形，从而将求AB 转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】（1）证明：联结 OD． ∵ D 为 AC 中点， O 为 AB 中点， D D A C O B E ∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线． 解：联结DB． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°. ∵ D 为 AC 中点， ∴AB=AC． 1 DE 在 Rt△DEC 中，∵DE=2 ，tanC= 2 ， ∴EC= tan C ? 4 . （三角函数的意义要记牢） 5由勾股定理得：DC= 2 . 5 5在 Rt△DCB 中， BD= DC ? tan C ? 5 ．由勾股定理得： BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为 5. 【例 2】已知：如图，⊙O 为?ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线 BF ，使得 BA 平分?CBF ，过点 A 作 AD ? BF 1 于点 D .（1）求证： DA 为⊙O 的切线；（2）若 BD ? 1， tan?BAD ? ，求⊙O 的半径. 2 A4 3D 1 A 4 3 D 1 2 B O A D B O C C 【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA 平分∠CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相 等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA 之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB 构成一个等腰三角形从而∠ABO= ∠BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD 通过等量关系放在△ABC 中，从而达到计算直径或半径的目的。 【解析】证明：连接 AO . ∵ AO ? BO ，∴ ?2 ? ?3 . ∵ BA平分?CBF ，∴ ?1 ? ?2 . ∴ ?3 ? ?1 . ∴ DB ∥ AO . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行） ∵ AD ? DB ,∴ ?BDA ? 90? .∴ ?DAO ? 90? . ∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线. 5（2）∵ AD ? DB , BD ? 1， tan?BAD ? 1 ，∴ AD ? 2 .由勾股定理，得 AB ? . 5 2 5∴ sin ?4 ? 5 5 .（通过三角函数的转换来扩大已知条件） ∵ BC 是⊙O 直径，∴ ?BAC ? 90? .∴ ?C ? ?2 ? 90? . 又∵ ?4 ? ?1 ? 90? , ?2 ? ?1, ∴ ?4 ? ?C . （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD） AB AB 5 在 Rt△ ABC 中， BC ? = =5.∴⊙O 的半径为 . sin C sin ?4 2 【例 3】已知：如图，点 D 是⊙ O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙ O 上，且OA ? AB ? AD . 求证： BD 是⊙ O 的切线； 5B 5 若点E 是劣弧 BC 上一点， AE 与 BC 相交 于点 F ，且BE ? 8 ， tan?BFA ? ， E 2 F 求⊙ O 的半径长. C D A O 【思路分析】 此题条件中有 OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来 BA 其实就是三角形 OBD 中斜边 OD 上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切 线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB 以后像例 2 那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外