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说明：环均指有单位元的结合环.
1．(20分) 设映射，并且．证明
(1) 映射是单射存在映射，使得．
(2) 映射是满射存在映射，使得．
2．(20分) 叙述并证明群的同态基本定理．
3．(20分) 设有如下行正合交换图
其中是同构. 利用图追踪法证明是单同态，是满同态.
4．(20分) 设是一左-模簇． 证明是投射模是投射模．
5． (20分) 设是一左右双模．证明共变函子是从左模范畴到左模范畴的一个左正合函子．
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