不等式的放缩技巧.docxVIP

PAGE PAGE 1 数列型不等式放缩技巧八法 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考 性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 利用重要不等式放缩 均值不等式法 1? 2例 1 设 S 1? 2 n ?? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ? S 2 ? 32 2 ? 3 ? (n ? 1)2 . 2 解析 此数列的通项为a k k (k ? 1) ? k(k ? 1), k ? 1,2,? , n. ? k ? ? k ? k ? 1 ? k ? 1 ，? ?n 2 2 k ? S n ? ?n (k ? 1 ) ， 2 即 n(n ? 1) ? S 2 n ? n(n ? 1) ? n ? (n ? 1)2 . 2 2 2 k ?1 k ?1 注：① 应注意把握放缩的“度” ：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ab? a ? b ，若放成 ab 2 ? k ? 1则得 S k( k(k ? 1) ? ?n k ?1 (k ?1) ? (n ?1)(n ? 3) ? (n ?1) 2 ，就放 2 2 过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n ? 1 ?? ? 1 1 a a 1 n a ?? ? a n a ? aa 2 ?? n a ? a a 2 ?? ? a 2 1 n n n n 其中， n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。 1 1 例 2 已知函数 f (x) ? ，若 4 ， 且 f (1) ?1 ? a ? 2bx 5 f (1) ? f (x) 在[0，1]上的最小值为 ， 2 求证： f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? 1 2n?1 1 . （02 年全国联赛山东预赛题） 2 简析 f (x) ? 4 x ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 (x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? 1 ) 1 ? 4 x 1 ? 4 x 2 ? 2 x 2 ? 2 ? (1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? n ? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? n ? 1 ? 1 . 2 ? 22 2 ? 2n 4 2 2n?1 2n?1 2 ?1 1 ? 例 3 已知a, b 为正数，且 ? 1 ，试证：对每一个n ? N ?， a b (a ? b) n ? an ? bn ? 22n ? 2n?1 .（88 年全国联赛题） 简析 由 1 ? 1 ? 1得 ab ? a ? b ，又(a ? b)( 1 ? 1 ) ? 2 ? a ? b ? 4 ，故 a b a b b a ab ? a ? b ? 4 ，而(a ? b) n ? C 0 an ? C 1 an?1b ? ? ? C r an?r br ? ? ? C nbn ， n n n n 令 f (n) ? (a ? b) n a n bn ，则 f (n) = C 1 an?1b ? ? ? C r an?r br ? ? ? C n?1abn?1 ， 因为Ci n ? C n?i ，倒序相加得 n n n n 2 f (n) = C 1 (an ?1b ? abn ?1 ) ? ? ? C r (an ?r br ? a r bn?r ) ? ? ? C n?1 (abn?1 ? an ?1b) ， nn n 而an?1b ? abn?1 ? ? ? an?r br n ar bn?r n anbn? ? ? abn?1 ? an?1b anbn ? 2 ? 42 ? 2n?1 ，则 2 f (n) = (C 1 n ? ? C r n ? ? C n?1 )(a r bn?r ? an?r br ) ? (2 n ? 2)(ar bn?r ? an?r br ) n ? (2n ? 2) ? 2n?1 ，所以 f (n) ? (2n ? 2) ? 2n ，即对每一个n ? N ? ， (a ? b)n ? an ? bn ? 22n ? 2n?1 . 例 4 求证C1 n C 2 n C 3 n ?? ? Cn n ? n ? 2 n?1 2 (n ? 1, n ? N ) . 简析 不等式左边C 1 n C 2 n n 1? n 1? 2 ? 22 ?? ? 2 n?1