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简单的线性规划(一) 教学目标 (一) 教学知识点 线性规划问题,线性规划的意义. 线性约束条件,线性目标函数,可行解,可行域,最优解等基本概念 线性规划问题的图解方法 (二) 能力训练要求 了解简单的线性规划问题 了解线性规划的意义. 会用图解法解决简单的线性规划问题 (三) 德育渗透目标 让学生树立数形结合的思想 教学重点 用图解法解决简单的线性规划问题教学难点 准确求得线性规划问题的最优解教学方法 教师设计问题与活动引导的方法教学过程 Ⅰ 创设情景引入问题 ?x ? 4 y ? ?3 ?问题一: 画出不等式组 ?3x ? 5 y ? 25 表示的平面区域 ? ??x ? 1 ? ?x ? 4 y ? ?3 ?问题二: 已知式中变量 x,y 满足条件?3x ? 5 y ? 25 , 设 z=2x+y,求 z 的最大 ? ??x ? 1 ? 值与最小值. Ⅱ学生探究,教师引导 在分析学生想法的基础上 ,提示: 能否用问题一所表示的平面区域来表示 ? 引导学生将此代数问题转化为几何问题. 分析转化: ?x ? 4 y ? ?3 ?不等式组 ?3x ? 5 y ? 25 三角形围成的封闭平面区域 ? ??x ? 1 ? z=2x+y 把 z 看成参数,则 z=2x+y(即 y=-2x+z) 表示一组平行线,而 z 是直线的纵截距 问题三:在已知平面区域内,求一组平行线中纵截距的最大,最小? 探究方法: 作直线 l0 :2x+y=0,再作一组与直线 l0 :2x+y=0 平行的直 线: l :2x+y=z,z? R (或平行移动直线l0 ),从而观察 Z 值得变化. 从图上可看出,点(0,0)不在以上公共区域内.当 x=0,y=0 时, z=2x+y=0.点 (0,0)在直线l 0 :2x+y=0 上. 可知,当l 在l 0 的右上方时,直线l 上的 点(x,y)满足 2x+y0,即 z0. A:(5.00, 2.00) 而且直线l 往右平移时,z 随之增大. B:(1.00, 1.00) 5 C C:(1.00, 4.40) x-4y+3=0 B A O 5 x=1 3x+5y-25=0 解决问题: 在经过不等式组所表示的平面区域内的点且平行与直线 l 的直 线中,以经过点 A(5,2)的直线l 2 所对应的 z 最大,以经过点 B(1,1)的直线l 1 所对应的 z 值最小. 所以: Zmax=2×5+2=12 Zmin=2×1+3=5 归纳方法 解决上述问题的步骤: 画出不等式组表示的平面区域 把 z 看成参数,则 z=2x+y(即 y=-2x+z)表示一组平行线,而 z 是直线的纵截距,利用平移的方法找出与平面区域有公共点且纵截距最大或最小的直线. 通过解方程组求出相应交点 做出答案. 解决上述问题的数学思想：数形结合的思想，转化化归的思想 相关定义：在上述问题中，不等式组是一组对变量 x,y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x,y 的一次不等式，所以又称其为线性约束条件。z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x,y 的解析式，叫做目标函数。由于z=2x+y 又是关于 x,y 的一次解析式，所以又叫做线性目标函数 上述问题就是求线性目标函数 z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题。 特殊说明：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，统 称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（ x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解（ 5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，他们都叫做这个问题的最优解。 巩固训练  ? x ? 4 y ? ? 3 ?（1）已知式中变量 x,y 满足条件 ? 3 x ? 5 y ? 25 , 设 z=4x+6y,求 z 的最大 ? ?? x ? 1 ? 值与最小值，并指出线性约束条件，线性目标函数，可行域，可行解，最优解。 注意：求线性目标函数的最优解，要注意正确分析理解线性目标函数所表 示的几何意义。 ? x ? 4 y ? ? 3 ?(2) 已知式中变量 x,y 满足条件 ? 3 x ? 5 y ? 25 , 设z=2x-y,求 z 的最大值 ? ?? x ? 1 ? 与最小值，并指出线性约束条件，线性目标函数，可行域，可行解，最优解。 回顾反思 相关概念 线性约束条件，线性目标函数，可行域，可行解，最优解 图解法解决线性规划问题的基本步骤： ①画：画出线性约束条件所表示的可行域； ②移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法， 找出与可行域有公共点且纵截距最大或