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算法的复杂度与 Master 定理 平时设计或者阅读一个算法的时候，必然会提到算法的复杂度（包括时间复杂度和空间复杂度）。比如我们说一个二分查找算法的平均时间复杂度为 O(logn) ，快速排序可能是 O(nlogn) 。那这里的O 是什么意思？这样的表达是否准确呢？ 今天来复习一下与算法复杂度相关的知识：函数渐进阶，记号O、 Ω、θ和o；Master 定理。 先插一句，在算法复杂度分析中，log 通常表示以 2 为底的对数。算法复杂度（算法复杂性）是用来衡量算法运行所需要的计算机资源（时间、空间）的量。通常我们利用渐进性态来描述算法的复杂度。 用n 表示问题的规模，T(n)表示某个给定算法的复杂度。所谓渐进 性态就是令n→∞时，T(n)中增长最快的那部分。严格的定义是：如果存在T?(n)，当 n→∞时，有 T(n)?T?(n)T(n)→0 就说T?(n)是 T(n)当 n→∞时的渐进性态。 比如 T(n)=2*n^2+nlogn+3 ，那么显然它的渐进性态是2 *n^2 ，因为当n→∞时，后两项的增长速度要慢的多，可以忽略掉。引入渐进性态是为了简化算法复杂度的表达式，只考虑其中的 主要因素。当比较两个算法复杂度的时候，如果他们的渐进复杂度 主要因素。当比较两个算法复杂度的时候，如果他们的渐进复杂度 的阶不相同，那只需要比较彼此的阶（忽略常数系数）就可以了。 总之，分析算法复杂度的时候，并不用严格演算出一个具体的公式， 而是只需要分析当问题规模充分大的时候，复杂度在渐进意义下的 阶。记号O、Ω、θ和o 可以帮助我们了解函数渐进阶的大小。 假设有两个函数 f(n)和 g(n)，都是定义在正整数集上的正函数。上 述四个记号的含义分别是： f(n) = O(g(n))：?c0,n0∈N,?n≥n0,f(n)≤cg(n)；f 的阶不高于 g 的阶。 f(n) =Ω(g(n))：?c0,n0∈N,?n≥n0,f(n)≥cg(n)；f 的阶不低于 g 的阶。 f(n) =θ(g(n))：?f(n)=O(g(n))f(n)=Ω(g(n))；f 的阶等于 g 的阶。 f(n) =o(g(n))：?ε0,?n0∈N,?n≥n0,f(n)/g(n)ε；f 的阶低于 g 的 阶。 可见，记号 可见，记号 O 给出了函数 f(n)在渐进意义下的上界（但不一定是最 小的），相反，记号Ω给出的是下界（不一定是最大的）。如果上 界与下界相同，表示 f(n)和 g(n)在渐进意义下是同阶的（θ），亦 即复杂度一样。 列举一些常见的函数之间的渐进阶的关系： logn!=Θ(nlogn) logn2=Θ(logn) logn2=O(n??√) n=Ω(log2n) log2n=Ω(logn) 2n=Ω(n2) 2n=O(3n) n!=o(nn) 2n=o(n!) 有些人可能会把这几个记号跟算法的最坏、最好、平均情况复杂度混淆，它们有区别，也有一定的联系。 即使问题的规模相同，随着输入数据本身属性的不同，算法的处理时间也可能会不同。于是就有了最坏情况、最好情况和平均情况下算法复杂度的区别。它们从不同的角度反映了算法的效率，各有用处，也各有局限。 有时候也可以利用最坏情况、最好情况下算法复杂度来粗略地估计 算法的性能。比如某个算法在最坏情况下时间复杂度为θ(n^2) ， 最好情况下为θ(n)，那这个算法的复杂度一定是 O(n^ 2)、Ω(n)的。也就是说 n^2 是该算法复杂度的上界，n 是其下界。 接下来看看 Master 定理。 有些算法在处理一个较大规模的问题时，往往会把问题拆分成几个子问题，对其中的一个或多个问题递归地处理，并在分治之前或之后进行一些预处理、汇总处理。这时候我们可以得到关于这个算法 复杂度的一个递推方程，求解此方程便能得到算法的复杂度。其中 复杂度的一个递推方程，求解此方程便能得到算法的复杂度。其中 很常见的一种递推方程就是这样的： 设常数 a=1 ，b1 ，f(n)为函数，T(n)为非负整数，T(n)=a T(n/b)+f(n) ，则有： 若 f(n)=O(nlogba?ε),ε0，那么 T(n)=Θ(nlogba)。 若 f(n)=Θ(nlogba)，那么 T(n)=Θ(nlogbalogn) 若 f(n)=Ω(nlogba+ε),ε0，并且对于某个常数 c 1 和充分大的n 有 af(n/b)≤cf(n)，那么 T(n)=Θ(f(n))。 比如常见的二分查找算法，时间复杂度的递推方程为 T(n)=T(n/2) + θ(1)，显然有 nlogba=n0=Θ(1)，满足 Master 定理第二条，可以得到其时间复杂度为 T(n)= θ(logn) 。 再看一个例子，T(n)=9T(n/3)+n ，可知 nlogba=n2，令ε取 1，