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强基计划真题·2019 北京大学
2019 年北京大学博雅计划笔试试题
1. 金字塔的底座为边长是 200 米的正方形。如果一个游客处于距离底座中心
200 米的圆周上，则游客可以同时看到金字塔两个塔面的概率为________。
A. 1 B. 1 C. √3 D. 以上答案都不对
3 2 2
2. 已知ᵅ (ᵆ) = ᵄ sin ᵆ , ᵆ ∈ [0, ᵰ]. 其中ᵄ 0. 若ᵅ(ᵆ) 与其反函数ᵆ = ᵅ−1(ᵆ)有两
2
个交点，则实数ᵄ 的取值范围是_________。
A. 0 ᵄ 1 B. 1 ᵄ ᵰ C. 2 ᵄ ᵰ D. 以上答案都不对
2 ᵰ 2
2
3. ᵅ (ᵆ) = ᵆ +1−ᵆ 的取值范围是___________。
√ 2 2
1+ᵆ 1+ᵆ
9 9
A. (−2,1] B. (−2, ] C. (−2, ) D. 以上答案都不对
8 8
4. 四面体ᵄ −ᵃᵃᵃ 的底面是边长为 2 的正三角形ᵃᵃᵃ ，ᵄᵃ垂直于面ᵃᵃᵃ ，
ᵄᵃ = 1. ᵄ, ᵄ分别为ᵃᵃ, ᵃᵃ 的中点，则异面直线ᵄᵄ, ᵃᵄ 的夹角的正弦值为
__________。
A. 1 B. √ 5 C. √ 10 D. 以上答案都不对
4 4 4
( ) 1 ( )
5. 已知函数ᵅ(ᵆ)满足对任意的ᵆ ≠ 0或1，均有ᵅ ᵆ +ᵅ ( ) = ᵆ . 求ᵅ 2 .
1−ᵆ
1 √3 ( )2 2
6. 已知点ᵃ ( , ) 关于直线ᵆ = ᵅᵆ 的对称点ᵃ′落在圆 ᵆ −2 +ᵆ = 1上，则ᵅ
2 2
的值为_________。
A. 1 B. √3 C. 1 D. 以上答案都不对
2 3
7. 已知ᵆ, ᵆ, ᵆ均为正实数。则ᵅ (ᵆ, ᵆ, ᵆ) = ᵆᵆᵆ 的最大值为
(1+4ᵆ)(9ᵆ+ᵆ)(4ᵆ+ᵆ)(9ᵆ+1)
_____。
A. 1 B. 1 C. 1 D. 以上答案都不对
576 1024 1296
| | | 4 2 |
8. 已知ᵄ, ᵄ, ᵆ均为复数，对任意的 ᵆ = 1，均有 ᵆ +ᵄᵆ +ᵄ = 1. 则ᵄᵄ 的值
为_________。
A. ᵅ B. −ᵅ C. 1 D. 以上答案都不对
9. 从 6 名男员工和 4 名女员工中各抽取 2 人，组成羽毛球混合双比赛。则一共
有_________种排列方式。
A. 60 B. 90
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