数值分析试题和答案解析.docx

【 试题 2009 年~ 2010 年第 一学期 课程名称： 数值分析 专业年级： 2009 级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □ ……………………………………………………………………………………………………… 一. 填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 设有节点 x 0 , x , x 1 2 ，其对应的函数 y ? f ?x?的值分别为 y 0 , y , y 1 2 ，则二次拉 格朗日插值基函数l (x)为 。 0 - 设 f ?x?? x2 ， 则 f ?x? 关于节点 x 0  ? 0, x 1  ? 1, x 2  ? 3 的二阶向前差分 为 。 ? 1 ?1 0 ? ?2? 3.设 A ? ??1 1 ?1? ， x ? ?3? ，则 A ＝ ， x ? 。 ? ? ? ? 1 1 ?? 0 ?1 1 ?? ??3?? 4. n ?1个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。二．简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定 什么是不动点迭代法 ? ?x?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于? ?x?的不动点 设 n 阶矩阵 A 具有 n 个特征值且满足 ? ? ? 1 2 ? ? ? 3 ? ? ，请简单说 n 明求解矩阵 A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于 3 的多项式 P 3 ?x?，满足下列插值条件： 。1 2 3 。 x i y 2 4 12 i 3 3 y?i并估计误差。（ y? i 四．试用n ? 1,2,4 的牛顿-科特斯求积公式计算定积分 I ? ? 1 1  dx 。（10 分） 0 1? x 五．用 Newton 法求 f (x) ? x ? cos x ? 0 的近似解。（10 分） 六．试用 Doolittle 分解法求解方程组： ， ? 2 5 ?6 ? ? x  ? ? 10 ? ? 4 13 ?19? ? 1 ? ? ? 19 ? （ 分） 10 2? ? ? x 2 3???6 ?3 ?6 ?? ?? x 3 ? ? ? ?? ???30?? ?20x  2x  3x  ? 24 ?七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组? ? 1 2 x ? 8x ? x 3 ? 12 的迭代格式，并 ?? 2x 1? 3x 2? 3 ? 15x ? 30 判断其是否收敛（10 分） ? y? ? ? y 1 2 3 八．就初值问题? ? y(0) ? y 0 考察欧拉显式格式的收敛性。（10 分） 《数值分析》（A）卷标准答案 （2009－2010－1） 一． 填空题（每小题 3 分，共 12 分） l ?x?? (x ? x 1 )(x ? x 2 ) ； ；3. 3，8；4.  2n+1 。 0 (x 0 x )(x 1 0 x ) 2 二．简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） aii解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4 a ii 对于对称正定阵 A，从a ii ? ? i l 2 k ?1 ik 可知对任意 k i 有| l | ? ik 。即 L 的元素不 会增大，误差可控，不需?选主?元，所以稳定。 （4 分） 解：（1）若 x* ? ? x* ，则称 x * 为函数? ?x ?的不动点。 （2 分） （2）? ?x?必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 ? ?x?的不动点： ? ?x?是在其定义域内是连续函数； （2 分） ? ?x?的值域是定义域的子集； （2 分） ? ?x?在其定义域内满足李普希兹条件。 （2 分） 解：参照幂法求解主特征值的流程 （8 分） 步 1：输入矩阵A，初始向量 v0，误差限 ，最大迭代次数 N; 步 2：置 k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞; 步 3：计算 vk=Auk-1; 步 4：计算 ?v ? ? max ?v ? ; : k r 1?i?n k i 并置 mk:=[vk]r, uk:=vk/mk; 步 5：若|mk- μ | ，计算，输出 mk,uk；否则，转 6； 步 6：若 kN,置 k:=k+1, μ:=mk，转 3；否则输出计算失败 信息，停止 三． 解：（1）利用插值法加待定系数法： 设 p ?x? 满足 p 2 2 ?1?? 2, p 2 ?2?? 4, p 2 ?3?? 12, 则 p 2 ?x?? 3x2 ? 7x ? 6, （3 分） 再设 p 3 ?x?