非线性方程的数值求法.pptVIP

由连续函数介值定理知, 必有 ∈[a, b], 使 所以有解存在, 即 假设有两个解 和 , , ∈[a, b]，则 由微分中值定理有其中ξ是介于 和 之间的点 从而有ξ∈[a,b]，进而有 由条件(2)有 1, 所以 - =0，即 = ，解唯一。 证: 构造函数 ,由条件①对任意的x∈[a, b] ∈[a, b]有 第三十页，共七十四页，2022年，8月28日 按迭代过程 ,有 由于L1,所以有 ,可见L越小,收敛越快 再证误差估计式 ① ② 第三十一页，共七十四页，2022年，8月28日 ∵ ∴ 即 ① 得证。 即 ② 得证。 第三十二页，共七十四页，2022年，8月28日 7.2.4 迭代法的算法框图 第三十三页，共七十四页，2022年，8月28日 例5 对方程 ,构造收敛的迭代格式, 求其最小正根,计算过程保留4位小数。 解 容易判断[1,2]是方程的有根区间, 且在此区间 内 ,所以此方程在区间[1,2]有 且仅有一根。将原方程改写成以下两种等价形式。 ① ,即 不满足收敛条件。 ② ,即 此时迭代公式满足迭代收敛条件。 第三十四页，共七十四页，2022年，8月28日 7.2.5 局部收敛性 当迭代函数较复杂时,通常只能设法使迭代过程在根的邻域(局部)收敛。 定理 3 设 在 的根 的邻域中有连续的一阶导数,且 ,则迭代过程 具有局部收敛性。 证:由于 ,存在充分小邻域△: ,使成立 这里L为某个定数,根据微分中值定理 由于 ,又当 时 ,故有 由定理1知 对于任意的 都收敛 第三十五页，共七十四页，2022年，8月28日 例6 设 ,要使迭代过程 局部收敛到 ,求 的取值范围。 解： 由在根 邻域具有局部收敛性时, 收敛 条件 所以 第三十六页，共七十四页，2022年，8月28日 例7 已知方程 在 内有根 ,且在 上满足 ,利用 构造一个迭代函数 ,使 局部收敛于 。 解:由 可得, 故 ,迭代公式 局部收敛 第三十七页，共七十四页，2022年，8月28日 7.2.6 迭代法的收敛速度 一种迭代法具有实用价值，首先要求它是收敛的，其次还要求它收敛得比较快。 定义2.2 设迭代过程 收敛于 的根 ,记迭代误差 若存在常数p（p≥1）和c（c0），使 则称序列 是 p 阶收敛的,c称渐近误差常数。特别地,p=1时称为线性收敛,p=2时称为平方收敛。1 p 2时称为超线性收敛。 数p的大小反映了迭代法收敛的速度的快慢，p愈大，则收敛的速度愈快，故迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量。 第三十八页，共七十四页，2022年，8月28日 定理4 设迭代过程 , 若 在所求根 的邻域连续且 则迭代过程在 邻域是p阶收敛的。 证: 由于 即在 邻域 , 所以 有局部收敛性, 将 在 处泰勒展开 根据已知条件得 由迭代公式 及 有 ? 第三十九页，共七十四页，2022年，8月28日 例 8 已知迭代公式 收敛于