课件大一下线代第二节方阵特征值与特征向量.pdfVIP

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一、特征值与特征向量的概念 第 二定义 设A 是 阶矩阵,如果数 和 零列向 n  n 节 x 量 使关系式 方 阵 Ax x 的成立,那么这样的数 称为方阵 的特征值;非  A 特 x 零向量 称为方阵 的对应于特征值 的特征向量 A  征. 值 与 注意: 特➢关系式Ax x 是特征值与特征向量满足的条 征 件式,由此可知A 必须为方阵. 向➢零向量显然满足关系式 Ax x ,但零向量不 量 是特征向量. 特征向量是非零向量. 1 二、特征值与特征向量的求法 1. 结论的引入 Ax x  Ax −x 0  (A −E )x 0 A  A 若 是 的特征值, 是 的对应于 的特征向 0 0 量,则有 (A − E ) 0 0  方程(A − E)x 0有非零解,且是它的 0 一个非零解  A − E 0 0 0是代数方程 A −E 0 的根. 2 ▪以 为未知数的一元 次方程  n A −E 0 称为方阵A 的特征方程. 以 为变元的 次多项式 , ▪ n A− E   即 a11− a12  a1n a21 a22−  a2n f () A− E     an1 an2 ann− 称为方阵A 的特征多项式. 3 2. 结论 ⑴矩阵A 的特征方程A − E 0的根就是A 的 n n 特征值. 在复数范

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