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立体几何- 立体几何-线面和面面垂直的证明 PAGE PAGE 1 / 6 理科数学复习专题 立体几何线面垂直与面面垂直专题复习 【知识点】 一．线面垂直 直线与平面垂直的定义： 如果直线l 和平面 α 内的 一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面 α 垂直， 记作 ． 重要性质： 直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面内的两条 都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号表示为： ②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为： 直线与平面垂直的性质： ①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的 直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为： 二、面面垂直 平面与平面垂直的定义： 两平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直． 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”， 用符号可表示为： 平面与平面垂直的性质： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为： 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 “直线l 垂直于平面 α 内的无数条直线”是“l⊥α ”的( )． A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 2．已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC．则下列结论不正确的是( )． A.CD∥平面PAF B.DF⊥平面PAF C.CF∥平面 PAB D．CF⊥平面 PAD ?, ?,? 设m，n, l 是三条不同的直线， 是三个不同的平面，判断命题正误： ①m ? ?, m ? ?,则? // ? ②m ? ?,? // ?,则m ? ? ③m ? ?, m // n,则n ? ? ④m ? ?, n ? ?,则m // n ⑤m ? ?, m ? n,则n // ? ⑥m ? n, m // ?,则n ? ? ⑦m ? n, n ? l,则m // l ⑧? ? ?，? ? ? ,则? // ? ⑨m ? n, n // l,则m ? l ⑩? ? ?，? // ?,则? ? ? 题型二 证明线面垂直 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面 ABCD． （1）证明：BD⊥面PAD (2)证明：PA⊥BD； 归纳：①证明异面直线垂直的常用方法： ②找垂线(线线垂直)的方法一： 四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD的边长为 4 的菱形， PD ? PB ? 4, ?BAD ? 600， E 为 PA 中点. 求证： BD ? 平面 PAC ； 归纳：找垂线(线线垂直)的方法二： 找垂线(线线垂直)的方法三： 3、如图， AB 是圆O 的直径， C 是圆O 上不同于 A , B 的一点， 3PA ? 平面 ABC ， E 是 PC 的中点， AB ? 证： AE ? PB 3 ， PA ? AC ? 1．求 归纳：找垂线(线线垂直)的方法四： 4.如图，在三棱锥P ? ABC 中， PA ? 底面 ABC, ?BCA ? 900 ， AP=AC, 点 D ， E 分别为棱PB、PC 的中点，且BC//平面ADE 求证：DE⊥平面 PAC ； 归纳： 题型三 面面垂直的证明（关键：找线面垂直） 1、如图所示，四边形 ABCD 是菱形，O 是 AC 与 BD 的交点， SA ? 平面ABCD. 求证： 平面SAC ? 平面SBD ； ??2.（2016 理数）如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中, D ? ? 面 ABEF 为正方形,AF=2FD, ?AFD ? 90 ， ? 证明：平面 ABEF ? 平面 EFDC； F 题型四 面面垂直的性质（注意：交线） 1、如图所示，平面EAD ? 平面 ABCD， ?ADE 是等边三角形，ABCD是矩形，F 是 AB 的中点，G 是 AD 的中点， 求证： EG ?平面 ABCD； 2、如图，平行四边形 ABCD中， CD ? 1,?BCD ? 600, BD ? CD ，正方形 ADEF ， 且面 ADEF ? 面 ABCD．求证： BD ? 平面 ECD； 综合运用 如图所示，PA⊥矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证：MN∥平面 PAD. 求证：MN⊥CD. 若∠PDA＝45°，求证：面BMN⊥平面