离散傅里叶变换和快速傅里叶变换.docxVIP

PAGE 10第 PAGE 10 第 页 共 27 页 实验报告 课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩： 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名： 第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 一、实验目的 掌握离散傅里叶变换（DFT）的原理和实现； 掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理和实现，掌握用 FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 会用Matlab 软件进行以上练习。 二、实验原理 关于 DFT 的相关知识 序列 x(n)的离散事件傅里叶变换（DTFT）表示为 X (e j? ) ? 装 ?? n???  x(n)e? j?n ， 如果 x(n)为因果有限长序列，n=0,1,...,N-1，则 x(n)的 DTFT 表示为 订 ?N ?1 X (e j? ) ? x(n)e? j?n ， 线 n?0 x(n)的离散傅里叶变换（DFT）表达式为 NX (k ) ? ?N ?1 x(n)e? j 2?nk N  (k ? 0,1,..., N ?1) ， n?0 序列的 N 点DFT 是序列DTFT 在频率区间[0,2π]上的 N 点灯间隔采样，采样间隔为2π/N。通过DFT， 可以完成由一组有限个信号采样值 x(n)直接计算得到一组有限个频谱采样值 X(k)。X(k)的幅度谱为 X 2 (k ) ? X X 2 (k ) ? X 2 (k ) R I ? (k) ? arctan X I (k) 。 ， 其中下标 R 和 I 分别表示取实部、虚部的运算。X(k) 的相位谱为 X (k) R 离散傅里叶反变换（IDFT）定义为 x(n) ? 1 ?N ?1 X (k )e j 2?nk NN N  (n ? 0,1,..., N ?1) 。 n?0 关于 FFT 的相关知识 快速傅里叶变换（FFT）是 DFT 的快速算法，并不是一个新的映射。FFT 利用了e  ? j 2?n N 函数的周期性 和对称性以及一些特殊值来减少DFT 的运算量，可使DFT 的运算量下降几个数量级，从而使数字信号处 理的速度大大提高。 若信号是连续信号，用 FFT 进行谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后就可以用 FFT 来对连续信号进行谱分析。为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器， 且抗混叠滤波器的截止频率不得高于与采样频率的一半。 比较 DFT 和 IDFT 的定义，两者的区别仅在于指数因子的指数部分的符号差异和幅度尺度变换，因此可用 FFT 算法来计算 IDFT。 三、实验内容与相关分析（共 6 道） 说明：为了便于老师查看，现将各题的内容写在这里—— 题目按照 3.1、3.2、...、3.6 排列。每道题包含如下内容：题干、解答（思路、M 文件源代码、命令窗口中的运行及其结果）、分析。其中“命令窗口中的运行及其结果”按照小题顺序排列，各小题包含命令 与结果（图形或者序列）。 求有限长离散时间信号 x(n)的离散时．间．傅里叶变换（DTFT）X(ejΩ)并绘图。 ?1 ? 2 ? n ? 2 （1）已知 x(n) ? ? ?0 其他 ；（2）已知 x(n) ? 2n 0 ? n ? 10 。 【解答】 思路：这是 DTFT 的变换，按照定义编写 DTFT 的 M 文件即可。考虑到自变量Ω是连续的，为了方便计算机计算，计算时只取三个周期[-2π,4π]中均匀的 1000 个点用于绘图。 理论计算的各序列 DTFT 表达式，请见本题的分析。 M 文件源代码（我的 Matlab 源文件不支持中文注释，抱歉）： function DTFT(n1,n2,x) %This is a DTFT function for my experiment of Signal Processing Analysis. w=0:2*pi/1000:2*pi;%Define the bracket of omega for plotting. X=zeros(size(w));%Define the initial values of X. for i=n1:n2 X=X+x(i-n1+1)*exp((-1)*j*w*i);%It is the definition of DTFT. end Amp=abs(X);%Acquire the amplification. Phs=angle(X);%Acquire the phase angle (radian). subplot(1,2,1); plot(w,Amp,r); xlabel(\Omega);ylabel(Amplification);hold on