利用导数求曲线地切线和公切线.docxVIP

实用标准文案 实用标准文案 文档 文档 利用导数求曲线的切线和公切线 【例 1】.已知曲线 f(x)=x3 【例 1】.已知曲线 f(x)=x3-2x2+1. 求在点 P（1,0）处的切线 l 的方程； 1 求过点 Q（2,1）与已知曲线 f(x)相切的直线 l 的方程. 2 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 【例 2】．（2014? 【例 2】．（2014? 北京）已知函数 f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求 f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点 P（1，t）存在 3 条直线与曲线 y=f（x）相切，求 t 的取值范围； （Ⅲ）问过点 A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由 f（x）=2x3﹣3x 得 f′（x）=6x2﹣3， 令 f′（x）=0 得，x=﹣ 或 x= ， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣ ）= ，f（ ）=﹣ ，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为 ． （Ⅱ）设过点 P（1，t）的直线与曲线 y=f（x）相切于点（x ，y ）， 0 0 则 y =2 ﹣3x ，且切线斜率为 k=6 ﹣3， 0 0 ∴切线方程为 y﹣y =（6 0 ﹣3）（x﹣x ）， 0 ∴t﹣y =（6 0 ﹣3）（1﹣x ），即 4 0 ﹣6 +t+3=0，设 g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在 3 条直线与曲线 y=f（x）相切”，等价于“g（x）有 3 个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（0）=t+3 是 g（x）的极大值，g（1）=t+1 是 g（x）的极小值． ∴g（0）＞0 且 g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1， ∴当过点过点 P（1，t）存在 3 条直线与曲线 y=f（x）相切时，t 的取值范围是 （﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点 A（﹣1，2）存在 3 条直线与曲线 y=f（x）相切； 过点 B（2，10）存在 2 条直线与曲线 y=f（x）相切； 过点 C（0，2）存在 1 条直线与曲线 y=f（x）相切． 【例 【例 3】．已知函数 f（x）=lnax（a≠0，a∈R）， ． （Ⅰ）当 a=3 时，解关于 x 的不等式：1+ef（x）+g（x）＞0； （Ⅱ）若 f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）当 a=1 时，记 h（x）=f（x）﹣g（x），过点（1，﹣1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由． 【解答】解：（I）当 a=3 时，原不等式可化为：1+eln3x+ ＞0； 等价于 ，解得 x ，故解集为 （Ⅱ）∵ 令 对 x≥1 恒成立，所以 ， ， 可得 h（x）在区间[1，+∞）上单调递减， 故 h（x）在 x=1 处取到最大值，故 lna≥h（1）=0，可得 a=1， 故 a 的取值范围为：[1，+∞） （Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点 T（x ， ）， 0 ∴切线方程：y+1= ，将点 T 坐标代入得： 即 ，① 设 g（x）= ，则 ∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（ 1，2） 上是减函数， 故 g（x） 极大 =g（1）=1＞0，故 g（x） 极，小 =g（2）=ln2+ ＞0，． 又 g（）= +12﹣6﹣1=﹣ln4﹣3＜0， 由 g（x）在其定义域上的单调性知：g（x）=0 仅在（，1）内有且仅有一根， 方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条． 【作业 1】．（2017? 莆田一模）已知函数 f（x）=2x3﹣3x+1，g（x）=kx+1﹣ lnx． 设函数 ，当 k＜0 时，讨论 h（x）零点的个数； 若过点 P（a，﹣4）恰有三条直线与曲线 y=f（x）相切，求a 的取值范围． 三. 切线与切线之间的关系 三. 切线与切线之间的关系 【例 4】．（2018? 绵阳模拟）已知 a，b，c∈R，且满足 b2+c2=1，如果存在两 条互相垂直的直线与函数 f（x）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则 a+ c 的取值范围是 . 则a ? 2b ? 3c ? 2b ? 3c ，∵b2+c2=1，∴ 设b ? sin ?, a ? cos ? ， ∴ 2b ? 3c ? 5sin( ? ??) ， 【例 5】.已知函数 f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex，其中 e 为自然对数的底数．（Ⅰ）设，求函数 t（x）在 【例 5】.已知函数 f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex，其中 e 为自然对数的 底数． （Ⅰ）设 ，求函数 t（x）在[m，m+1]（m＞0）上的