1242994334勾股定理的史料及应用.docx

勾股定理的历史 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高 定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三 角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史， 几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉 斯（Pythagoras，公元前572?～公元前 497?）于公元前550 年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid， 公元前 330～公元前 275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。（右图为欧几里得和他的证明图） 中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩得到的一条直角边‘勾等于 3， 另一条直角边’股等于 4 的时候，那么它的斜边弦就必定是 5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前 1100 年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾 3 股 4 弦 5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。 在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元 50 至 100 年间）（右图）， 勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股 分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。中国古 代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作 理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证 明（右图）。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、 割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多 继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽 在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明， 在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法， 更具有科学创新的重大意义。  勾股定理的证明 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达 400 多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。 cbGFAaH c b G F A a H E 以 a、b 为直角边（ba）， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角 1 ab 形，则每个直角三角形的面积等于 2 . 把这四个直角三角形拼成 如图所示形状. C ∵ RtΔ DAH ≌ RtΔ ABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. B ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o. ??b a?2 ? ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于 . 4 ? 1 ab ? ?b ? a?2 ∴ 2 ? c 2  a b a a c  b a a c b ∴ a 2 b 2 ? c 2 . a b c 【证法 2】（课本的证明） 做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别 b c b 为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个 正方形. a b  b c a a b 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 1 1 a 2 ? b 2 ? 4 ? ab ? c 2 ? 4 ? ab 2 2 ， 整理得 a 2 ? b 2 ? c 2 . 【证法 3】（1876 年美国总统Garfield 证明） C 以 a、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直 D 1 ab c c b 角三角形的面积等于2 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、 a E