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基本不等式教学设计 一．学情分析 1.学生已经掌握了不等式以及一些不等关系的相关知识，特别是必修一p39页探究题，学生对于重要不等式已经有了初步了解； 2.对于基本不等式的学习,学生的认知困难主要在两个方面: (1)什么是基本不等式？学生对新概念的理解和接受是比较困难的; (2)如何用数形结合的思路理解基本不等式？应该重视学生的独立思考和计算，重视课堂问题的讲解设计,引导学生掌握。 二．教材分析 在前面的学习中,同学们已经基本掌握了一些常见不等式及不等式证明方法,本节内容一定程度上是前面学习的运用,也是后面系统学习不等式证明的基础。基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁,放缩法证明不等式会经常用到基本不等式。另一方面, 基本不等式作为求极值的的一种方法,经常运用于实际问题,而且是高考常考的知识点,通过基本不等式,常常可以将一些较为复杂的求极值的问题化为简单问题,在化归方法中起着重要的承接作用。 通过对这一节内容的学习,学生可以较为真切的体会到数形结合法的神奇之处,也加强了数学联系生活这一重要的数学观。在学习过程中,要用心体会数学思想方法,为以后抽象数学思想方法做好铺垫。 三．教学目标 1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。 2,基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力。 3.基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题。 四．教学重难点 1、重点：应用数形结合的思想理解基本不等式。 2、难点：基本不等式的推导及证明过程。 五．教学方法 情境教学、讲授法 六．教学过程 (一)创设情景，导入新课 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。三国时期吴国的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，创制了一幅“勾股圆方图”，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成。“赵爽弦图”证法的基本思想：图形经过割补后，面积不变，这就是中国古代数学中重要的面积“出入相补”原理.是我国古代数学的特色之一. 你能在这个图中找出一些相等的关系或不等关系吗？ (设计意图：通过情境导入课题，能使学生很快有新内容的学习的抵制状态，进入回忆的兴奋状态，提高学生的学习兴趣。) (二)新课讲授 1、重要不等式 一般地，对于任意实数a,?b我们有? ?a2+b2≥2ab??当且仅当a=b时，等号成立 2、基本不等式 特别地,?若a0,?b0,?则用√a,√b分别代替a,b,可得：???????????????????????ab 当且仅当a=b时，等号成立 上述不等式称为基本不等式，其中(a+b)/2叫做正数a、b的算术平均数,√ab叫做a、b的几何平均数 3、基本不等式的证明 证明方法：作差法、综合法、分析法等 作差法： 证明：a0,?b0 a+b/2?√ab = (√a?√b)2/2 当且仅当a=b时，等号成立 （设计意图：通过复习上一节课重要不等式的内容，利用提问法和引导法学生进行问题的探究，并进行进一步的讨论，进一步证明，理解基本不等式的定义） (三)基本不等式的几何意义 如图, AB是圆O的直径，过AB上点P作垂直于AB的弦PE垂足为点D，设AD=a，BD=b，连AP，BP， 则PQ= ab， 半径PO= a+b2. 几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长 （四）例题讲解 (1)已知x0，求x+1/x的最小值；(2)已知0x10，求x(10?x)的最大值. 解(1): x0，则有x+1/x≥2，当且仅当x=1/x=1时取最大值。 (2)：答案25 方法总结 运用基本不等式求最值必备的三个条件：一正、二定、三相等 一正：指代a、b均为正数； 二定：指ab，a+b两者中其中一个为定值； 三相等：表示当且仅当a=b时，取等号； （五）巩固练习 1、已知x,?y都是正数，求证：(1)x/y+y/x≥2 (2)2xy/x+y≤√xy 2、已知x,?y都是正数，求证：(1)如果积xy等于定值P，求和x+y的最小值；(2)如果各x+y等于定值S，求积xy的最大值. 总结（和定积大、积定和小） （1）如果x+y是定值S,?那么x=y时，积xy有?最大值1/4S2.（2）如果xy是定值P,?那么x=y时，和x+y有最小值2√P. 七.归纳小结 1.基本不等式的形式及定义。 2,基本不等式的几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长 3. 运用基本不等式求最值必备的三个条件：一正、二定、三相等 4.积定与和定问题。 八.作业布置 完成课后练习题第一二题。