38 向量的数量积——数量积的投影定义 高中数学讲义微专题.docxVIP

微专题 38 向量的数量积——数量积的投影定义 一、基础知识 1、向量的投影： 有向线段的值：设有一轴l ， AB 是轴上的有向线段，如果实数? 满足? ? AB ，且当 AB 与轴同向时， ? ? 0 ，当 AB 与轴反向时， ? ? 0 ，则称? 为轴l 上有向线段 AB 的值。 A点在直线上的投影：若点 A 在直线l 外，则过 A 作 AA ? l 于 A ，则称 A 为 A 在直线l 上的投影；若点 A 在直线l 上，则 A 在 A 在直线l 上的投影 A 与 A 重合。所以说，投影往往伴随着垂直。 A A 向量的投影：已知向量 a, b ，若a 的起点 A, B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别 为 A , B ，则向量 A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量 A B 称为a 在b 上的投影向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记 ? 为向量a, b 的夹角 ? 为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 ? 为直角：则投影为零 ? 为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影? 为例，通过构造直角三角形可以发现 当? 为锐角时， ? ? b cos? ，因为? ? 0 ，所以? ? b cos? 当? 为锐角时， ? ? b cos?? ?? ?? ? b cos? ，因为? ? 0 ，所以?? ? ? b cos? 即 ? ? b cos? 当? 为直角时， ? ? 0 ，而cos? ? 0 ，所以也符合? ? b cos? 综上可得： a 在b 上的投影? ? b cos? ，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向 量 a, b  数 量 积 公 式 为  a ? b?  a cb o ?s  ， 可 变 形 为 a ? b ? a ?? cb o ?s ? ，进而与向量投影找到联系a ? b ? b ? ?a cos? ? ，进而与向量投影找到联系 或数量积的投影定义：向量a, b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向 或 量上的投影，即a ? b ? b ? ?  a ?b （记?  a ?b 为a 在b 上的投影） ?a ?ba ? a ?b a ? b b ? 即数量积除以被投影向量的模长 5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） 从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值 ，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题： 例 1：已知向量a, b 满足 a ? 3, b ? 2 3 ，且a ? ?a ?b ?，则b 在a 方向上的投影为（ ） A．3 B． ?3 . 思路： 考虑 b 在 a 上的投影为 a ? b 3 3 C． ? 3 C． ? 3 3 2 b， 所以只需求出 a ? b 即可。由 a ? a ? b 可得： b b?92 3a ? ?a ? b?? a2 ? a ? b ? 0 ，所以a ? b ? ?9 。进而 a ? b ? b ?9 2 3 ? ? 3 3 2 答案：C 小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量的模长 例 2：如图，在 ABC 中， AB ? BC ? 4, ?ABC ? 30 ， AD 是边 BC 上的高，则 AD ? AC 的值等于（ ） A．0 B．4 C．8 D． ?4 思路：由图中垂直可得： AC 在 AD 上的投影为 AD ，所以 AD ? AC ? AD 2 ，只需求出 ABC 的高即可。由已知可得 AD ? AB ? sin ABC ? 2 ，所以 AD ? AC ? AD 2 ? 4 答案：B 例 3 ： 两 个 半 径 分 别 为 r , r  的 圆 M , N , 公 共 弦 AB 长 为 3 ， 如 图 所 示 ， 则 1 2 AM ? AB ? AN ? AB ???. 思路： AB 为两个圆的公共弦，从而圆心 M , N 到弦 AB 的投影为 AB 的中点，进而 AM , AN 在 AB 上的投影能够确定，所以考虑计算 AM ? AB 和 AN ? AB 时可利用向量的投影定义。 解：取 AB 中点T ，连结 MT , NT ，由圆的性质可得： MT ? AB, NT ? AB ? AM ? AB ? AT ?