正方形和旋转.docx

①利用旋转证明正方形和等腰直角三角形问题 ② ①利用旋转证明正方形和等腰直角三角形问题 ②2009 东营市和 2011 鸡西市绥化市对比分析 第 第 PAGE 3 页 共 10 页 2009 年东营市中招数学试题和 2011 年鸡西市中招数学试题其实是一个类型的试题，应该说 2011 年鸡西市的这道中招试题源于 2009 年东营市的中招试题，该试题体现了图形在不同的位置仍然还具备内在的关系，只要在解题中抓住问题的本质与核心 可以用同样的方法来解决不同位置时的问题。现在将两道试题化归为一道试题的不同 的情况，主要利用旋转的思想加以对比研究。 （2009 东营）已知正方形ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F， 连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG． 求证：EG=CG； 将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45o，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理 由． 将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1） 中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） AFGEGFD A F G E G F E E F C 图1 B 图2 C B 图3 C （2011 绥化市、鸡西市）在正方形ABCD 的边 AB 上任取一点 E ，作EF ⊥AB 交 BD 于点 F ， 取 FD 的中点G ，连结 EG、CG ，如图（1），易证 EG CG 且 EG ⊥ CG ． 将△BEF 绕点 B 逆时针旋转90°，如图（2），则线段 EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想． 将△BEF 绕点 B 逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明． GFAGFA G F A G F A G B E C 图1 E B 图2 C  C F E 图3 【1】（2009 东营）（2011 鸡西市、绥化市） 已知正方形 ABCD，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90°， G 为 DF 中点，连接 EG，CG． 如图①，当点F 在 BC 边上时，判断线段EG，CG 的关系，证明你的结论； 将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转，使点F 在对角线BD 上，如图②所示，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转，使点E 在 CB 的延长线上，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转，使点E 在 AB 的延长线上，如图④所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 将图①中△BEF 绕 B 点顺时针旋转一个任意的角度，使点 E、F 在正方形ABCD 的外部，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 将图①中△BEF 绕 B 点顺时针旋转一个任意的角度，使点E 在正方形ABCD 的外部，点F 在正方形ABCD 的内部，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 将图①中△BEF 绕 B 点顺时针旋转一个任意的角度，使点E、F 都在正方形 ABCD 的外部，问 中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 将图①中△BEF 绕 B 点顺时针旋转一个任意的角度，使点E 在正方形ABCD 的内部，点F 在正方形ABCD 的外部，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 GFAGFGE G F A G F G E E F C B 图1 AG A G B  图2 C E B A D  图3 C GFA G F GF G F F E 图4 C E B 图5  C B 图6 C AGBCE A G B C E G E B C F 图7 图8 F 证明：如图①，在Rt△FCD 中，∵G 为 DF 的中点，∴CG＝ 1 2 FD． 在 Rt△DEF 中，∵G 为 DF 的中点，∴EG＝ 1 FD． 2 ∴EG＝CG． Q ? EGC ? EGF ? FGC 2? EDG 2? GDC 2? BDC 90o \ EG ^ GC 方法一证明：如图 2-1 所示，延长EF 和 CD 交于点H，连接GH GFQVBEF是等腰直角三角形， G F \ VFGH是等腰直角三角形， Q FG = GD,\ FG = GH = DG Q ? GHD 45o = ? EF